Упр.9.66 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.66 Докажите справедливость утверждений 1—4.

Докажем утверждения последовательно.

1. Пусть $$x_0$$ — решение неравенства. Тогда выражения $$u_1=\alpha(x_0)$$ и $$u_2=\beta(x_0)$$ имеют смысл и принадлежат промежутку $$M$$, на котором функция $$f(u)$$ возрастает.

   Если $$u_1>u_2$$, то из возрастания функции следует $$f(u_1)>f(u_2)$$. Значит, $$x_0$$ является решением неравенства $$f(\alpha(x))>f(\beta(x))$$.

   Обратно, пусть $$x_1$$ — решение неравенства $$f(\alpha(x))>f(\beta(x))$$. Тогда $$u_1=\alpha(x_1)$$ и $$u_2=\beta(x_1)$$ принадлежат $$M$$, и из $$f(u_1)>f(u_2)$$ при возрастании $$f$$ получаем $$u_1>u_2$$, то есть $$\alpha(x_1)>\beta(x_1)$$.

   Следовательно, неравенство $$f(\alpha(x))>f(\beta(x))$$ равносильно системе

   $$ \begin{cases} \alpha(x)>\beta(x),\\ \alpha(x)\in M,\\ \beta(x)\in M. \end{cases} $$

2. Если функция $$f(u)$$ убывает на $$M$$, то из $$u_1>u_2$$ следует $$f(u_1)<f(u_2)$$. Поэтому неравенство $$f(\alpha(x))>f(\beta(x))$$ равносильно системе

   $$ \begin{cases} \alpha(x)<\beta(x),\\ \alpha(x)\in M,\\ \beta(x)\in M. \end{cases} $$

3. Утверждение 3 получается из утверждения 1, если вместо промежутка $$M$$ взять $$\mathbb{R}$$. Тогда условия $$\alpha(x)\in M$$ и $$\beta(x)\in M$$ выполняются автоматически, и остаётся только неравенство $$\alpha(x)>\beta(x)$$.

4. Утверждение 4 аналогично следует из утверждения 2 при $$M=\mathbb{R}$$: условия принадлежности области определения исчезают, и остаётся неравенство $$\alpha(x)<\beta(x)$$.

Ответ

Все утверждения 1—4 доказаны.