Упр.9.65 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ все решения неравенства $$\sqrt{x-2a}>\sqrt{4-x}$$ содержатся в интервале $$(0;5)$$?

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x-2a} > \sqrt{4-x}.$$

Так как обе части неотрицательны, то оно равносильно системе

$$\begin{cases} x-2a \ge 0,\\ 4-x \ge 0,\\ x-2a > 4-x. \end{cases}$$

Из первых двух неравенств получаем область определения:

$$2a \le x \le 4.$$

Из третьего неравенства:

$$x-2a > 4-x,$$

$$2x > 2a+4,$$

$$x > a+2.$$

Значит, решения исходного неравенства задаются промежутком

$$x \in (a+2;\,4].$$

По условию все решения должны содержаться в интервале $$(0;5).$$

Так как правая граница $$4$$ уже лежит в интервале $$(0;5),$$ нужно, чтобы левая граница была больше нуля:

$$a+2 \ge 0,$$

то есть

$$a \ge -2.$$

Кроме того, чтобы решения вообще существовали, нужно

$$a+2 < 4,$$

откуда

$$a < 2.$$

Следовательно,

$$-2 \le a < 2.$$

Ответ

$$a \in [-2;\,2).$$