Упр.9.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.64*

По утверждению из задания 9.52в исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

$$ \begin{cases} \dfrac{8x-7}{8x+13}\ge \dfrac{14x-9}{8x+13}>0,\\ x>1 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} 0<\dfrac{8x-7}{6x+11}\le \dfrac{14x-9}{8x+13},\\ 0<x<1. \end{cases} $$

Рассмотрим первую систему. Из условия

$$ \dfrac{8x-7}{8x+13}\ge \dfrac{14x-9}{8x+13}>0 $$

получаем, что обе дроби должны быть положительными, а также

$$ \dfrac{8x-7}{8x+13}-\dfrac{14x-9}{8x+13}\ge 0. $$

Но при $x>1$ это невозможно, поэтому первая система решений не имеет.

Рассмотрим вторую систему:

$$ \begin{cases} 0<\dfrac{8x-7}{6x+11}\le \dfrac{14x-9}{8x+13},\\ 0<x<1. \end{cases} $$

Из неравенства

$$ \dfrac{8x-7}{6x+11}\le \dfrac{14x-9}{8x+13} $$

получаем

$$ \dfrac{(8x-7)(8x+13)-(14x-9)(6x+11)}{(6x+11)(8x+13)}\le 0. $$

Числитель:

$$ (8x-7)(8x+13)-(14x-9)(6x+11)=64x^2+40x-91-(84x^2+80x-99) $$
$$ =-20x^2-40x+8=-4(5x^2+10x-2). $$

С учётом условия $0<x<1$ и знаков знаменателей получаем, что решение второй системы:

$$ \frac{7}{8}<x<1. $$

Следовательно, исходное неравенство имеет множество решений

$$ x\in \left(\frac{7}{8},\,1\right). $$

Ответ

$$ x\in \left(\frac{7}{8},\,1\right) $$