Упр.9.63 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log2|x| (х2 — 13х + 36) < = log2|x| 6; в) log|x| (х2 + 25) < = 2+ log2|x|226; г) log|x| (х2 + 361) < = 2+ log2|x|362.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\log_{2|x|}(x^2-10x+21)\le \log_{2|x|}5.$$
Для логарифмов нужно:
$$2|x|>0,\quad 2|x|\ne 1,\quad x^2-10x+21>0.$$
Так как основание логарифма зависит от $x$, получаем два случая:
$$\begin{cases} 0<2|x|<1,\\ x^2-10x+21\ge 5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2|x|>1,\\ x^2-10x+21\le 5. \end{cases}$$
1) При $0<2|x|<1$ имеем $0<|x|<\dfrac12$, то есть $-\dfrac12<x<0$ или $0<x<\dfrac12$.
Из условия $x^2-10x+21\ge 5$ получаем
$$x^2-10x+16\ge 0,$$
$$x^2-10x+16=(x-2)(x-8)\ge 0,$$
откуда $x\le 2$ или $x\ge 8$. С учётом $0<|x|<\dfrac12$ получаем
$$x\in\left(-\dfrac12;0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right).$$
2) При $2|x|>1$ имеем $|x|>\dfrac12$, то есть $x<-\dfrac12$ или $x>\dfrac12$.
Из условия $x^2-10x+21\le 5$ получаем
$$x^2-10x+16\le 0,$$
$$x^2-10x+16=(x-2)(x-8)\le 0,$$
откуда $x\in[2;8]$. С учётом $|x|>\dfrac12$ получаем
$$x\in[2;8].$$
Итак,
$$x\in\left(-\dfrac12;0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right)\cup[2;8].$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\log_{2|x|}(x^2-13x+36)\le \log_{2|x|}6.$$
Аналогично:
$$2|x|>0,\quad 2|x|\ne 1,\quad x^2-13x+36>0.$$
Получаем систему случаев:
$$\begin{cases} 0<2|x|<1,\\ x^2-13x+36\ge 6 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2|x|>1,\\ x^2-13x+36\le 6. \end{cases}$$
1) При $0<|x|<\dfrac12$:
$$x^2-13x+30\ge 0,$$
$$x^2-13x+30=(x-3)(x-10)\ge 0,$$
откуда $x\le 3$ или $x\ge 10$. С учётом $0<|x|<\dfrac12$ получаем
$$x\in\left(-\dfrac12;0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right).$$
2) При $|x|>\dfrac12$:
$$x^2-13x+30\le 0,$$
$$x^2-13x+30=(x-3)(x-10)\le 0,$$
откуда
$$x\in[3;10].$$
Итак,
$$x\in\left(-\dfrac12;0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right)\cup[3;10].$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\log_{|x|}(x^2+25)\le 2+\log_{|x|}226.$$
Так как $$2=\log_{|x|}|x|^2,$$ то
$$\log_{|x|}(x^2+25)\le \log_{|x|}(226x^2).$$
Для логарифмов нужно:
$$|x|>0,\quad |x|\ne 1,\quad x^2+25>0,\quad 226x^2>0.$$
Рассмотрим два случая:
$$\begin{cases} 0<|x|<1,\\ x^2+25\ge 226x^2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} |x|>1,\\ x^2+25\le 226x^2. \end{cases}$$
1) При $0<|x|<1$:
$$25\ge 225x^2,$$
$$x^2\le \dfrac{1}{9},$$
откуда
$$x\in\left(-\dfrac13;0\right)\cup\left(0;\dfrac13\right).$$
2) При $|x|>1$:
$$25\le 225x^2,$$
$$x^2\ge \dfrac{1}{9},$$
и с учётом $|x|>1$ получаем
$$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\dfrac13;0\right)\cup\left(0;\dfrac13\right)\cup(1;+\infty).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\log_{|x|}(x^2+361)\le 2+\log_{|x|}362.$$
Так как $$2=\log_{|x|}|x|^2,$$ то
$$\log_{|x|}(x^2+361)\le \log_{|x|}(362x^2).$$
Для логарифмов нужно:
$$|x|>0,\quad |x|\ne 1,\quad x^2+361>0,\quad 362x^2>0.$$
Рассмотрим два случая:
$$\begin{cases} 0<|x|<1,\\ x^2+361\ge 362x^2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} |x|>1,\\ x^2+361\le 362x^2. \end{cases}$$
1) При $0<|x|<1$:
$$361\ge 361x^2,$$
$$x^2\le 1,$$
что вместе с $0<|x|<1$ даёт
$$x\in(-1;0)\cup(0;1).$$
2) При $|x|>1$:
$$361\le 361x^2,$$
$$x^2\ge 1,$$
что при $|x|>1$ выполняется автоматически, поэтому
$$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$