Упр.9.62 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) logx(12x + 1) < logx|13х - 1|; в) logx(6х + 1) < logx|7х - 1|; г) logx(17x + 1) < logx|18х - 1|.

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство
$$\log_x(9x+1)<\log_x|10x-1|.$$
Для логарифмов нужно учесть область определения: $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 9x+1>0,\quad |10x-1|>0.$$
Так как основание логарифма зависит от $x$, разбираем случаи.
При $$x>1$$ функция $$\log_x t$$ возрастает, поэтому
$$9x+1<|10x-1|.$$
При $$0<x<1$$ функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому
$$9x+1>|10x-1|.$$
Решим неравенства с модулем.
1) При $$x>1$$ имеем $$|10x-1|=10x-1$$, тогда
$$9x+1<10x-1 \;\Rightarrow\; x>2.$$
С учётом $$x>1$$ получаем $$x\in(2;+\infty).$$
2) При $$0<x<1$$ имеем $$|10x-1|=10x-1$$ при $$x\ge \frac{1}{10}$$ и $$|10x-1|=1-10x$$ при $$0<x<\frac{1}{10}$$.
Проверим оба случая:
$$9x+1>10x-1 \;\Rightarrow\; x<2,$$
что верно для всех $$0<x<1.$$
Значит, при $$0<x<1$$ подходят все значения, кроме точки, где модуль обращается в нуль: $$x\ne \frac{1}{10}.$$
Итак,
$$x\in\left(0;\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{10};1\right)\cup(2;+\infty).$$
Аналогично для
$$\log_x(12x+1)<\log_x|13x-1|$$
получаем область определения:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 12x+1>0,\quad |13x-1|>0.$$
При $$x>1$$:
$$12x+1<|13x-1|.$$
Так как при $$x>1$$ имеем $$|13x-1|=13x-1,$$ то
$$12x+1<13x-1 \;\Rightarrow\; x>2.$$
При $$0<x<1$$:
$$12x+1>|13x-1|.$$
Это выполняется для всех $$0<x<1,$$ кроме точки $$x=\frac{1}{13}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(0;\frac{1}{13}\right)\cup\left(\frac{1}{13};1\right)\cup(2;+\infty).$$
Для
$$\log_x(6x+1)<\log_x|7x-1|$$
аналогично получаем:
при $$x>1$$
$$6x+1<|7x-1| \;\Rightarrow\; 6x+1<7x-1 \;\Rightarrow\; x>2,$$
а при $$0<x<1$$
$$6x+1>|7x-1|,$$
что верно для всех $$0<x<1,$$ кроме $$x=\frac{1}{7}.$$
Значит,
$$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right)\cup\left(\frac{1}{7};1\right)\cup(2;+\infty).$$
Для
$$\log_x(17x+1)<\log_x|18x-1|$$
получаем:
при $$x>1$$
$$17x+1<|18x-1| \;\Rightarrow\; 17x+1<18x-1 \;\Rightarrow\; x>2,$$
а при $$0<x<1$$
$$17x+1>|18x-1|,$$
что верно для всех $$0<x<1,$$ кроме $$x=\frac{1}{18}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(0;\frac{1}{18}\right)\cup\left(\frac{1}{18};1\right)\cup(2;+\infty).$$