Упр.9.62 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_x(9x+1)<\log_x|10x-1|$$; б) $$\log_x(12x+1)<\log_x|13x-1|$$; в) $$\log_x(6x+1)<\log_x|7x-1|$$; г) $$\log_x(17x+1)<\log_x|18x-1|$$.

1. Рассмотрим неравенство

   $$\log_x(9x+1)<\log_x|10x-1|.$$

   Для логарифмов нужно учесть область определения: $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 9x+1>0,\quad |10x-1|>0.$$

   Так как основание логарифма зависит от $$x$$, разбираем случаи.

   При $$x>1$$ функция $$\log_x t$$ возрастает, поэтому

   $$9x+1<|10x-1|.$$

   При $$0<x<1$$ функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому

   $$9x+1>|10x-1|.$$

   Решим неравенства с модулем.

   1) При $$x>1$$ имеем $$|10x-1|=10x-1$$, тогда

   $$9x+1<10x-1 \;\Rightarrow\; x>2.$$

   С учётом $$x>1$$ получаем $$x\in(2;+\infty).$$

   2) При $$0<x<1$$ имеем $$|10x-1|=10x-1$$ при $$x\ge \frac{1}{10}$$ и $$|10x-1|=1-10x$$ при $$0<x<\frac{1}{10}$$.

   Проверим оба случая:

   $$9x+1>10x-1 \;\Rightarrow\; x<2,$$

   что верно для всех $$0<x<1.$$

   Значит, при $$0<x<1$$ подходят все значения, кроме точки, где модуль обращается в нуль: $$x\ne \frac{1}{10}.$$

   Итак,

   $$x\in\left(0;\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{10};1\right)\cup(2;+\infty).$$

2. Аналогично для

   $$\log_x(12x+1)<\log_x|13x-1|$$

   получаем область определения:

   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 12x+1>0,\quad |13x-1|>0.$$

   При $$x>1$$:

   $$12x+1<|13x-1|.$$

   Так как при $$x>1$$ имеем $$|13x-1|=13x-1,$$ то

   $$12x+1<13x-1 \;\Rightarrow\; x>2.$$

   При $$0<x<1$$:

   $$12x+1>|13x-1|.$$

   Это выполняется для всех $$0<x<1,$$ кроме точки $$x=\frac{1}{13}.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(0;\frac{1}{13}\right)\cup\left(\frac{1}{13};1\right)\cup(2;+\infty).$$

3. Для

   $$\log_x(6x+1)<\log_x|7x-1|$$

   аналогично получаем:

   при $$x>1$$

   $$6x+1<|7x-1| \;\Rightarrow\; 6x+1<7x-1 \;\Rightarrow\; x>2,$$

   а при $$0<x<1$$

   $$6x+1>|7x-1|,$$

   что верно для всех $$0<x<1,$$ кроме $$x=\frac{1}{7}.$$

   Значит,

   $$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right)\cup\left(\frac{1}{7};1\right)\cup(2;+\infty).$$

4. Для

   $$\log_x(17x+1)<\log_x|18x-1|$$

   получаем:

   при $$x>1$$

   $$17x+1<|18x-1| \;\Rightarrow\; 17x+1<18x-1 \;\Rightarrow\; x>2,$$

   а при $$0<x<1$$

   $$17x+1>|18x-1|,$$

   что верно для всех $$0<x<1,$$ кроме $$x=\frac{1}{18}.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(0;\frac{1}{18}\right)\cup\left(\frac{1}{18};1\right)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(0;\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{10};1\right)\cup(2;+\infty);$$

б) $$x\in\left(0;\frac{1}{13}\right)\cup\left(\frac{1}{13};1\right)\cup(2;+\infty);$$

в) $$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right)\cup\left(\frac{1}{7};1\right)\cup(2;+\infty);$$

г) $$x\in\left(0;\frac{1}{18}\right)\cup\left(\frac{1}{18};1\right)\cup(2;+\infty).$$