Упр.9.61 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.61

а)

$$|x|+\frac{1}{x^2-2x-10}\le \frac{3x^2+6x-23}{x^2+2x-8}$$

Перенесём дробь в правую часть:
$$|x|\le \frac{3x^2+6x-23}{x^2+2x-8}-\frac{1}{x^2-2x-10}$$

$$|x|\le \frac{3x^2+6x-24}{x^2+2x-8}$$

$$|x|\le \frac{3(x^2+2x-8)}{x^2+2x-8}$$

При этом
$$x^2+2x-8\ne 0,$$
то есть
$$x\ne -4,\quad x\ne 2.$$

Тогда получаем систему:
$$ \begin{cases} |x|\le 3,\\ x\ne -4,\ x\ne 2. \end{cases} $$

Из неравенства $$|x|\le 3$$ имеем
$$-3\le x\le 3.$$
С учётом ограничений:
$$x\in[-3;2)\cup(2;3].$$

б)

$$|x|+\frac{2}{x^2-3x-10}\le \frac{4x^2-12x-38}{x^2-3x-10}$$

Перенесём дробь вправо:
$$|x|\le \frac{4x^2-12x-38}{x^2-3x-10}-\frac{2}{x^2-3x-10}$$

$$|x|\le \frac{4x^2-12x-40}{x^2-3x-10}$$

$$|x|\le \frac{4(x^2-3x-10)}{x^2-3x-10}$$

При этом
$$x^2-3x-10\ne 0,$$
то есть
$$x\ne 5,\quad x\ne -2.$$

Тогда:
$$ \begin{cases} |x|\le 4,\\ x\ne 5,\ x\ne -2. \end{cases} $$

Из неравенства $$|x|\le 4$$ получаем
$$-4\le x\le 4.$$
С учётом ограничений:
$$x\in[-4;-2)\cup(-2;4].$$

Ответ

а) $$x\in[-3;2)\cup(2;3]$$
б) $$x\in[-4;-2)\cup(-2;4]$$