Упр.9.59 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) |2 log3 х — 5| < log3 х - 1;
в) |2log2x - 3| > log2x + 3;
г) |2lgx — 5| < lgx + 2.
а) $$|2\log_8 x-3|<\log_8 x+1$$
Так как правая часть должна быть положительной, получаем двойное неравенство:
$$-\bigl(\log_8 x+1\bigr)<2\log_8 x-3<\log_8 x+1$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} 2\log_8 x-3>-\log_8 x-1,\\ 2\log_8 x-3<\log_8 x+1. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 3\log_8 x>2,\\ \log_8 x<4. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \log_8 x>\dfrac{2}{3},\\ \log_8 x<4. \end{cases} $$
С учётом $$x>0$$ получаем:
$$ \begin{cases} x>8^{2/3}=4,\\ x<8^4=4096. \end{cases} $$
Следовательно, $$x\in(4;4096)$$.
б) $$|2\log_3 x-5|<\log_3 x-1$$
Аналогично:
$$-\bigl(\log_3 x-1\bigr)<2\log_3 x-5<\log_3 x-1$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} 2\log_3 x-5>-\log_3 x+1,\\ 2\log_3 x-5<\log_3 x-1. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 3\log_3 x>6,\\ \log_3 x<4. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \log_3 x>2,\\ \log_3 x<4. \end{cases} $$
С учётом $$x>0$$:
$$ \begin{cases} x>3^2=9,\\ x<3^4=81. \end{cases} $$
Значит, $$x\in(9;81)$$.
в) $$|2\log_2 x-3|>\log_2 x+3$$
Рассмотрим два случая:
$$ \begin{cases} 2\log_2 x-3>\log_2 x+3,\\ \text{или}\\ 2\log_2 x-3<-\log_2 x-3. \end{cases} $$
Из первого неравенства:
$$\log_2 x>6 \quad \Rightarrow \quad x>2^6=64.$$
Из второго неравенства:
$$3\log_2 x<0 \quad \Rightarrow \quad \log_2 x<0 \quad \Rightarrow \quad 0<x<1.$$
Итак, $$x\in(0;1)\cup(64;+\infty)$$.
г) $$|2\lg x-5|<\lg x+2$$
Получаем двойное неравенство:
$$-\bigl(\lg x+2\bigr)<2\lg x-5<\lg x+2$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} 2\lg x-5>-\lg x-2,\\ 2\lg x-5<\lg x+2. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 3\lg x>3,\\ \lg x<7. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \lg x>1,\\ \lg x<7. \end{cases} $$
С учётом $$x>0$$:
$$ \begin{cases} x>10,\\ x<10^7. \end{cases} $$
Следовательно, $$x\in(10;10^7)$$.
Ответ
а) $$x\in(4;4096)$$; б) $$x\in(9;81)$$; в) $$x\in(0;1)\cup(64;+\infty)$$; г) $$x\in(10;10^7)$$.
