Упр.9.58 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) |х + 1| > х2 + 4х + 1;
в) |3 (корень х) — 5| > (корень х) — 1;
г) |2 (корень х) — 7| > (корень х) — 2.
а) $$|x+1|
Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ получаем двойное неравенство:
$$-(x^2-2x+1)
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+1>-x^2+2x-1,\\ x+1
$$ \begin{cases} x^2-x+2>0,\\ x^2-3x>0. \end{cases} $$
Первое неравенство верно при всех $$x\in\mathbb R,$$ а из второго:
$$x(x-3)>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$
б) $$|x+1|>x^2+4x+1$$
Запишем как систему:
$$ \begin{cases} x+1>x^2+4x+1,\\ x+1<-x^2-4x-1. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2+3x<0,\\ x^2+5x+2<0. \end{cases} $$
Тогда
$$x\in(-3;0),$$
а также
$$x\in\left(\frac{-5-\sqrt{17}}{2};\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\right).$$
Пересечение этих промежутков:
$$x\in\left(\frac{-5-\sqrt{17}}{2};0\right).$$
в) $$|3\sqrt{x}-5|>\sqrt{x}-1$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Решим как систему:
$$ \begin{cases} 3\sqrt{x}-5>\sqrt{x}-1,\\ 3\sqrt{x}-5<-\sqrt{x}+1. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 2\sqrt{x}>4,\\ 4\sqrt{x}<6. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} \sqrt{x}>2,\\ \sqrt{x}<\frac{3}{2}. \end{cases} $$
Совместно с $$x\ge 0$$ получаем:
$$x\in\left[0;\frac{9}{4}\right)\cup(4;+\infty).$$
г) $$|2\sqrt{x}-7|>\sqrt{x}-2$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Решим как систему:
$$ \begin{cases} 2\sqrt{x}-7>\sqrt{x}-2,\\ 2\sqrt{x}-7<-\sqrt{x}+2. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} \sqrt{x}>5,\\ 3\sqrt{x}<9. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} \sqrt{x}>5,\\ \sqrt{x}<3. \end{cases} $$
Совместных решений нет, значит, решение отсутствует.
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty)$$; б) $$x\in\left(\frac{-5-\sqrt{17}}{2};0\right)$$; в) $$x\in\left[0;\frac{9}{4}\right)\cup(4;+\infty)$$; г) $$\varnothing$$.
