Упр.9.57 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.57

а) Рассмотрим знак дроби:

$$\frac{\log_2(x-3)}{\log_{0,5}(x+2)}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3)>0 \\ \log_{0,5}(x+2)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \log_2(x-3)<0 \\ \log_{0,5}(x+2)<0 \end{cases} $$

Тогда:

$$ \begin{cases} x-3>1 \\ 0<x+2<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 0<x-3<1 \\ x+2>1 \end{cases} $$

Из первой системы получаем:

$$ \begin{cases} x>4 \\ -2<x<-1 \end{cases} $$

Решений нет. Из второй системы:

$$ \begin{cases} 3<x<4 \\ x>-1 \end{cases} $$

Следовательно,

$$x\in(3;4).$$

б)

$$\frac{\log_{0,3}(x-3)}{\lg(x+4)}>0$$

Снова рассмотрим случаи одинаковых знаков:

$$ \begin{cases} \log_{0,3}(x-3)>0 \\ \lg(x+4)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \log_{0,3}(x-3)<0 \\ \lg(x+4)<0 \end{cases} $$

Так как основание $0,3<1$, то:

$$ \log_{0,3}(x-3)>0 \iff 0<x-3<1, \qquad \log_{0,3}(x-3)<0 \iff x-3>1. $$

А для десятичного логарифма:

$$ \lg(x+4)>0 \iff x+4>1, \qquad \lg(x+4)<0 \iff 0<x+4<1. $$

Тогда:

$$ \begin{cases} 3<x<4 \\ x>-3 \end{cases} \Rightarrow x\in(3;4), $$

а во втором случае:

$$ \begin{cases} x>4 \\ -4<x<-3 \end{cases} $$

Решений нет. Значит,

$$x\in(3;4).$$

в)

$$\frac{\log_{0,2}(x+2)}{\log_5(3-x)}>0$$

Рассмотрим случаи одинаковых знаков:

$$ \begin{cases} \log_{0,2}(x+2)>0 \\ \log_5(3-x)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \log_{0,2}(x+2)<0 \\ \log_5(3-x)<0 \end{cases} $$

Так как $0,2<1$, то:

$$ \log_{0,2}(x+2)>0 \iff 0<x+2<1, \qquad \log_{0,2}(x+2)<0 \iff x+2>1. $$

А так как $5>1$, то:

$$ \log_5(3-x)>0 \iff 3-x>1, \qquad \log_5(3-x)<0 \iff 0&lt{3-x}<1. $$

Получаем:

$$ \begin{cases} -2<x<-1 \\ x<2 \end{cases} \Rightarrow x\in(-2;-1), $$

и

$$ \begin{cases} x>-1 \\ 2<x<3 \end{cases} \Rightarrow x\in(2;3). $$

Следовательно,

$$x\in(-2;-1)\cup(2;3).$$

г)

$$\frac{\log_{0,25}(2-x)}{\log_4(x-4)}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$ \begin{cases} \log_{0,25}(2-x)<0 \\ \log_4(x-4)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \log_{0,25}(2-x)>0 \\ \log_4(x-4)<0 \end{cases} $$

Учитывая, что $0,25<1$ и $4>1$, получаем:

$$ \log_{0,25}(2-x)<0 \iff 2-x>1, \qquad \log_{0,25}(2-x)>0 \iff 0&lt{2-x}&lt1, $$

$$ \log_4(x-4)>0 \iff x-4>1, \qquad \log_4(x-4)<0 \iff 0&lt{x-4}&lt1. $$

Первая система даёт:

$$ \begin{cases} x<1 \\ x>5 \end{cases} $$

Решений нет.

Во второй системе:

$$ \begin{cases} 1<x<2 \\ 4<x<5 \end{cases} $$

Решений нет. Значит, решений нет вообще.

Ответ

а) $$x\in(3;4)$$

б) $$x\in(3;4)$$

в) $$x\in(-2;-1)\cup(2;3)$$

г) решений нет