Упр.9.56 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.56

1. $$\frac{\left(\frac13\right)^x-3}{3^x-3}<0$$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

   $$\begin{cases} \left(\frac13\right)^x-3<0\\ 3^x-3>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \left(\frac13\right)^x-3>0\\ 3^x-3<0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \left(\frac13\right)^x<3=\left(\frac13\right)^{-1}\\ 3^x>3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>-1\\ x>1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \left(\frac13\right)^x>\left(\frac13\right)^{-1}\\ 3^x<3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<-1\\ x<1 \end{cases}$$

   Получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

2. $$\frac{\left(\frac12\right)^x-4}{2^x-16}<0$$

   Аналогично:

   $$\begin{cases} \left(\frac12\right)^x-4<0\\ 2^x-16>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \left(\frac12\right)^x-4>0\\ 2^x-16<0 \end{cases}$$

   $$4=\left(\frac12\right)^{-2}, \qquad 16=2^4$$

   $$\begin{cases} \left(\frac12\right)^x<\left(\frac12\right)^{-2}\\ 2^x>2^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-2\\ x>4 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^{-2}\\ 2^x<2^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-2\\ x<4 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$$

3. $$\frac{2^x-8}{\lg x}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$\begin{cases} 2^x-8>0\\ \lg x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2^x-8<0\\ \lg x<0 \end{cases}$$

   $$8=2^3,\qquad \lg x>0 \Leftrightarrow x>1,\qquad \lg x<0 \Leftrightarrow 0<x<1$$

   $$\begin{cases} 2^x>2^3\\ x>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>3\\ x>1 \end{cases} \Rightarrow x>3$$

   $$\begin{cases} 2^x<2^3\\ 0<x<1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<3\\ 0<x<1 \end{cases} \Rightarrow x\in(0;1)$$

   Итак,

   $$x\in(0;1)\cup(3;+\infty)$$

4. $$\frac{2^x-\frac12}{\lg(3-x)}<0$$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

   $$\begin{cases} 2^x-\frac12<0\\ \lg(3-x)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2^x-\frac12>0\\ \lg(3-x)<0 \end{cases}$$

   $$\frac12=2^{-1}$$

   $$\begin{cases} 2^x<2^{-1}\\ 3-x>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-1\\ x<2 \end{cases} \Rightarrow x<-1$$

   $$\begin{cases} 2^x>2^{-1}\\ 0<3-x<1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-1\\ 2<x<3 \end{cases} \Rightarrow x\in(2;3)$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;3)$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$
б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$$
в) $$x\in(0;1)\cup(3;+\infty)$$
г) $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;3)$$