Упр.9.55 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.55

1. $$\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$ \begin{cases} \sqrt{x}-2>0 \\ x-1>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{x}-2<0 \\ x-1<0 \end{cases} $$

   Из первого случая:

   $$ \begin{cases} x>4 \\ x>1 \end{cases} \Rightarrow x>4 $$

   Из второго случая с учётом $$x\ge 0$$:

   $$ \begin{cases} x<4 \\ x\ge 0 \\ x<1 \end{cases} \Rightarrow x\in[0;1) $$

   Следовательно,

   $$x\in[0;1)\cup(4;+\infty).$$

2. $$\frac{\sqrt{x}-3}{2-x}<0$$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

   $$ \begin{cases} \sqrt{x}-3<0 \\ 2-x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{x}-3>0 \\ 2-x<0 \end{cases} $$

   Первый случай:

   $$ \begin{cases} x<9 \\ x<2 \end{cases} \Rightarrow x\in[0;2) $$

   Второй случай:

   $$ \begin{cases} x>9 \\ x>2 \end{cases} \Rightarrow x>9 $$

   Итак,

   $$x\in[0;2)\cup(9;+\infty).$$

3. $$\frac{\sqrt{-x}-3}{x+2}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$ \begin{cases} \sqrt{-x}-3>0 \\ x+2>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{-x}-3<0 \\ x+2<0 \end{cases} $$

   Первый случай невозможен, так как из $$\sqrt{-x}-3>0$$ следует $$x<-9$$, а из $$x+2>0$$ следует $$x>-2$$.

   Во втором случае:

   $$ \begin{cases} \sqrt{-x}-3<0 \\ x+2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -x<9 \\ x<-2 \end{cases} \Rightarrow x<-2 $$

   С учётом области определения $$x\le 0$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;-9)\cup(-2;0].$$

Ответ

а) $$x\in[0;1)\cup(4;+\infty)$$; б) $$x\in[0;2)\cup(9;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;-9)\cup(-2;0]$$.