Упр.9.54 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$(3-\sqrt{10-x})(\sqrt{x}-2)<0$$;
   б) $$(2-\sqrt{9-x})(\sqrt{x}-1)<0$$;
   в) $$(\sqrt{3-x}-1)\lg x<0$$;
   г) $$(\sqrt{x}-1)\lg(3-x)<0$$.

1. а) $$\left(3-\sqrt{10-x}\right)\left(\sqrt{x}-2\right)<0$$

   Произведение отрицательно, если множители разных знаков:

   $$\begin{cases} 3-\sqrt{10-x}<0\\ \sqrt{x}-2>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3-\sqrt{10-x}>0\\ \sqrt{x}-2<0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \sqrt{10-x}>3\\ \sqrt{x}>2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{10-x}<3\\ \sqrt{x}<2 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 10-x>9\\ x>4 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 10-x<9\\ 10-x\ge 0\\ x<4\\ x\ge 0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x<1\\ x>4 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x>1\\ x\le 10\\ x<4\\ x\ge 0 \end{cases}$$

   Получаем:

   $$x\in(1;4)$$

2. б) $$\left(2-\sqrt{9-x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)>0$$

   Произведение положительно, если множители одного знака:

   $$\begin{cases} 2-\sqrt{9-x}>0\\ \sqrt{x}-1>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2-\sqrt{9-x}<0\\ \sqrt{x}-1<0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \sqrt{9-x}<2\\ \sqrt{x}>1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{9-x}>2\\ \sqrt{x}<1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 9-x<4\\ x>1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 9-x>4\\ 9-x\ge 0\\ x<1\\ x\ge 0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x>5\\ x<9\\ x>1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x<5\\ x\ge 0\\ x<1 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in[0;1)\cup(5;9)$$

3. в) $$\left(\sqrt{3-x}-1\right)\lg x<0$$

   Область определения: $$x>0,\quad 3-x\ge 0.$$

   Произведение отрицательно, если множители разных знаков:

   $$\begin{cases} \sqrt{3-x}-1>0\\ \lg x<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{3-x}-1<0\\ \lg x>0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \sqrt{3-x}>1\\ 0<x<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{3-x}<1\\ x>1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 3-x>1\\ 0<x<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3-x<1\\ 3-x\ge 0\\ x>1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x<2\\ 0<x<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x>2\\ x\le 3\\ x>1 \end{cases}$$

   Итак,

   $$x\in(0;1)\cup(2;3)$$

4. г) $$\left(\sqrt{x}-1\right)\lg(3-x)<0$$

   Область определения: $$x\ge 0,\quad 3-x>0.$$

   Произведение отрицательно, если множители разных знаков:

   $$\begin{cases} \sqrt{x}-1>0\\ \lg(3-x)<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{x}-1<0\\ \lg(3-x)>0 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} \sqrt{x}>1\\ 0<3-x<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sqrt{x}<1\\ 3-x>1 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x>1\\ 2<x<3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 0\le x<1\\ x<2 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in[0;1)\cup(2;3)$$

Ответ

а) $$x\in(1;4)$$; б) $$x\in[0;1)\cup(5;9)$$; в) $$x\in(0;1)\cup(2;3)$$; г) $$x\in[0;1)\cup(2;3)$$.