Упр.9.53 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство (9.53—9.64):
а) $$(1-x)\lg(x+2)<0$$;
б) $$(2-x)\log_{0,5}(x+3)>0$$;
в) $$(x-3)\log_{5}(5-x)<0$$;
г) $$(4+x)\log_{0,2}(3-x)>0$$.
а) $$(1-x)\lg(x+2)<0$$
Произведение отрицательно, если множители разных знаков:
$$\begin{cases} 1-x>0\\ \lg(x+2)<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 1-x<0\\ \lg(x+2)>0 \end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases} x<1\\ 0<x+2<1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x>1\\ x+2>1 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x<1\\ -2<x<-1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x>1\\ x>-1 \end{cases}$$
Отсюда
$$x\in(-2;-1)\cup(1;+\infty)$$
б) $$(2-x)\log_{0,5}(x+3)>0$$
Произведение положительно, если множители одного знака:
$$\begin{cases} 2-x>0\\ \log_{0,5}(x+3)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2-x<0\\ \log_{0,5}(x+3)<0 \end{cases}$$
Так как основание $$0{,}5<1$$, то
$$\log_{0,5}(x+3)>0 \iff 0<x+3<1, \qquad \log_{0,5}(x+3)<0 \iff x+3>1.$$
Получаем:
$$\begin{cases} x<2\\ -3<x<-2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x>2\\ x>-2 \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-3;-2)\cup(2;+\infty)$$
в) $$(x-3)\log_5(5-x)<0$$
Произведение отрицательно, если множители разных знаков:
$$\begin{cases} x-3>0\\ \log_5(5-x)<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x-3<0\\ \log_5(5-x)>0 \end{cases}$$
Так как основание $$5>1$$, то
$$\log_5(5-x)<0 \iff 0<5-x<1, \qquad \log_5(5-x)>0 \iff 5-x>1.$$
Тогда
$$\begin{cases} x>3\\ 4<x<5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x<3\\ x<4 \end{cases}$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;3)\cup(4;5)$$
г) $$(4+x)\log_{0,2}(3-x)>0$$
Произведение положительно, если множители одного знака:
$$\begin{cases} 4+x>0\\ \log_{0,2}(3-x)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 4+x<0\\ \log_{0,2}(3-x)<0 \end{cases}$$
Так как основание $$0{,}2<1$$, то
$$\log_{0,2}(3-x)>0 \iff 0<3-x<1, \qquad \log_{0,2}(3-x)<0 \iff 3-x>1.$$
Получаем:
$$\begin{cases} x>-4\\ 2<x<3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x<-4\\ x<2 \end{cases}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-4)\cup(2;3)$$
Ответ
а) $$x\in(-2;-1)\cup(1;+\infty)$$;
б) $$x\in(-3;-2)\cup(2;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;3)\cup(4;5)$$;
г) $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;3)$$.
