Упр.9.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Неравенство |f(х)| < g(x) равносильно двойному неравенству -g(x) < f(x) < g(x).
б) Неравенство |f(x)| > g(x) равносильно совокупности двух неравенств f(х) > g(x) и f(x) < -g(x).
в) Неравенство log g(x)g(x) < log g(x)фи(х) равносильно совокупности систем
система
0 < f(х) < фb(х)
g(x) > 1
система
f(х) > фи(х) > О
0 < g(x) < 1.
а) Докажем равносильность неравенств $$|f(x)| < g(x)$$ и $$-g(x) < f(x) < g(x).$$
Если $$|f(x)| < g(x),$$ то по определению модуля
$$-\,g(x) < f(x) < g(x).$$
Обратно, если $$-\,g(x) < f(x) < g(x),$$ то число $$f(x)$$ по модулю меньше $$g(x),$$ то есть
$$|f(x)| < g(x).$$
Следовательно, неравенства равносильны.
б) Докажем равносильность неравенства $$|f(x)| > g(x)$$ и совокупности
$$f(x) > g(x) \quad \text{или} \quad f(x) < -g(x).$$
Если $$|f(x)| > g(x),$$ то возможны два случая:
$$f(x) \ge 0 \Rightarrow |f(x)| = f(x), \quad \text{значит } f(x) > g(x);$$
$$f(x) < 0 \Rightarrow |f(x)| = -f(x), \quad \text{значит } -f(x) > g(x),$$
откуда
$$f(x) < -g(x).$$
Обратно, если выполняется хотя бы одно из неравенств $$f(x) > g(x)$$ или $$f(x) < -g(x),$$ то в обоих случаях получаем $$|f(x)| > g(x).$$
Значит, неравенства равносильны.
в) Рассмотрим неравенство
$$\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x).$$
Для его существования необходимо:
$$f(x) > 0,\quad \varphi(x) > 0,\quad g(x) > 0,\quad g(x) \ne 1.$$
Далее возможны два случая.
1) Если $$g(x) > 1,$$ то логарифмическая функция возрастает, поэтому
$$\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x) \iff f(x) < \varphi(x).$$
С учётом ОДЗ получаем систему
$$ \begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x), \\ g(x) > 1. \end{cases} $$
2) Если $$0 < g(x) < 1,$$ то логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:
$$\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x) \iff f(x) > \varphi(x).$$
С учётом ОДЗ получаем систему
$$ \begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0, \\ 0 < g(x) < 1. \end{cases} $$
Итак, исходное неравенство равносильно совокупности этих двух систем.
Ответ
а) $$|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x).$$
б) $$|f(x)| > g(x) \iff f(x) > g(x) \ \text{или}\ f(x) < -g(x).$$
в) $$\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x)$$ равносильно совокупности систем
$$ \begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x), \\ g(x) > 1 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0, \\ 0 < g(x) < 1. \end{cases} $$
