Упр.9.51 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.51* Докажите справедливость утверждений 6 и 7.

6. Докажем, что неравенство $$f(x)g(x)>0$$ или $$\frac{f(x)}{g(x)}>0$$ равносильно объединению систем

$$ \begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x)<0 \\ g(x)<0 \end{cases} $$

Если $$x_0$$ — решение неравенства $$f(x)g(x)>0$$, то произведение двух чисел положительно, значит, эти числа одного знака. Следовательно, либо

$$ \begin{cases} f(x_0)>0 \\ g(x_0)>0 \end{cases} \quad \text{либо} \quad \begin{cases} f(x_0)<0 \\ g(x_0)<0 \end{cases} $$

То есть любое решение неравенства является решением хотя бы одной из этих систем.

Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет одной из систем, то числа $$f(x_1)$$ и $$g(x_1)$$ одного знака, значит, $$f(x_1)g(x_1)>0$$. Следовательно, любое решение одной из систем является решением неравенства.

Аналогично для дроби $$\frac{f(x)}{g(x)}>0$$: она положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака, при этом $$g(x)\neq 0$$.

Если объединение систем не имеет решений, то и неравенство решений не имеет; и наоборот, если неравенство не имеет решений, то не имеет решений и объединение систем.

7. Докажем, что неравенство $$f(x)g(x)<0$$ или $$\frac{f(x)}{g(x)}<0$$ равносильно объединению систем

$$ \begin{cases} f(x)<0 \\ g(x)>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)<0 \end{cases} $$

Если $$x_0$$ — решение неравенства $$f(x)g(x)<0$$, то произведение двух чисел отрицательно, значит, эти числа разных знаков. Поэтому либо

$$ \begin{cases} f(x_0)<0 \\ g(x_0)>0 \end{cases} \quad \text{либо} \quad \begin{cases} f(x_0)>0 \\ g(x_0)<0 \end{cases} $$

Значит, любое решение неравенства является решением одной из этих систем.

Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет одной из систем, то числа $$f(x_1)$$ и $$g(x_1)$$ имеют разные знаки, следовательно, $$f(x_1)g(x_1)<0$$. Значит, любое решение объединения систем является решением неравенства.

Если объединение систем не имеет решений, то и неравенство решений не имеет; если неравенство не имеет решений, то не имеет решений и объединение систем.

Ответ

Утверждения 6 и 7 справедливы: знак произведения (или дроби) определяется знаками множителей (числителя и знаменателя), поэтому неравенства $$f(x)g(x)>0$$, $$f(x)g(x)<0$$ и соответствующие неравенства для $$\frac{f(x)}{g(x)}$$ равносильны объединениям указанных систем.