Упр.9.49 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2(x-2)+\sqrt{3-x}<3+\sqrt{3-x}$$; б) $$\log_2(x-2)+\sqrt{3-x}<\log_2(x-2)+2$$.

а) $$\log_2(x-2)+\sqrt{3-x}<3+\sqrt{3-x}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\log_2(x-2)-3<0$$

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_2(x-2)-3<0,\\ x-2>0,\\ 3-x\ge 0. \end{cases}$$

Из неравенства $$\log_2(x-2)<3$$ получаем:

$$x-2<8 \quad \Rightarrow \quad x<10.$$

Тогда

$$\begin{cases} x>2,\\ x<10,\\ x\le 3. \end{cases}$$

Следовательно, $$x\in(2;3].$$

б) $$\log_2(x-2)+\sqrt{3-x}<\log_2(x-2)+2$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$\sqrt{3-x}-2<0$$

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \sqrt{3-x}<2,\\ x-2>0. \end{cases}$$

Так как $$\sqrt{3-x}<2,$$ то

$$3-x<4 \quad \Rightarrow \quad x>-1.$$

С учётом области определения корня $$3-x\ge 0,$$ получаем:

$$\begin{cases} x\le 3,\\ x>-1,\\ x>2. \end{cases}$$

Итак, $$x\in(2;3].$$

Ответ

а) $$x\in(2;3]$$; б) $$x\in(2;3]$$.