Упр.9.48 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log0,5(x2 — 16) > log0,5(3x + 38);
в) log3(x2 — 4) < log3 (44 - 2x);
г) log0,5 (x2 - 22) < log0,5(3x + 18).
а) Так как основание логарифма $$2>1,$$ то функция возрастает, значит
$$\log_2(x^2-5x-34)>\log_2(x+6)\iff x^2-5x-34>x+6.$$
С учётом области определения:
$$ \begin{cases} x^2-5x-34>x+6,\\ x+6>0 \end{cases} $$
Получаем
$$ \begin{cases} x^2-6x-40>0,\\ x>-6 \end{cases} $$
$$x^2-6x-40=(x-10)(x+4),$$
поэтому
$$x\in(-\infty;-4)\cup(10;+\infty).$$
Пересечение с $$x>-6$$ даёт
$$x\in(-6;-4)\cup(10;+\infty).$$
б) Так как $$0<0{,}5<1,$$ то функция убывает, значит знак неравенства меняется:
$$\log_{0{,}5}(x^2-16)>\log_{0{,}5}(3x+38)\iff 0<x^2-16<3x+38.$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x^2-16>0,\\ x^2-16<3x+38 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x<-4 \ \text{или}\ x>4,\\ x^2-3x-54<0 \end{cases} $$
$$x^2-3x-54=(x-9)(x+6),$$
откуда
$$x\in(-6;9).$$
Пересечение даёт
$$x\in(-6;-4)\cup(4;9).$$
в) Так как $$3>1,$$ то
$$\log_3(x^2-4)<\log_3(44-2x)\iff x^2-4<44-2x.$$
С учётом области определения:
$$ \begin{cases} x^2-4<44-2x,\\ x^2-4>0 \end{cases} $$
Получаем
$$ \begin{cases} x^2+2x-48<0,\\ x<-2 \ \text{или}\ x>2 \end{cases} $$
$$x^2+2x-48=(x+8)(x-6),$$
значит
$$x\in(-8;6).$$
Пересечение даёт
$$x\in(-8;-2)\cup(2;6).$$
г) Так как $$0<0{,}5<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$\log_{0{,}5}(x^2-22)<\log_{0{,}5}(3x+18)\iff 0<3x+18<x^2-22.$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} 3x+18>0,\\ 3x+18<x^2-22 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>-6,\\ x^2-3x-40>0 \end{cases} $$
$$x^2-3x-40=(x-8)(x+5),$$
поэтому
$$x\in(-\infty;-5)\cup(8;+\infty).$$
Пересечение с $$x>-6$$ даёт
$$x\in(-6;-5)\cup(8;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-6;-4)\cup(10;+\infty);$$ б) $$x\in(-6;-4)\cup(4;9);$$ в) $$x\in(-8;-2)\cup(2;6);$$ г) $$x\in(-6;-5)\cup(8;+\infty).$$
