Упр.9.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень 6 степени (x2 + корень x) > = корень 6 степени (3x-2 + корень x);
в) корень 10 степени (x2 — корень x) > = корень 10 степени (5x-4 — корень x);
г) корень 12 степени (x2 — корень x) > = корень 12 степени (3x-2 — корень x).
а) $$\sqrt[8]{x^2+\sqrt{x}}\ge \sqrt[8]{5x-4+\sqrt{x}}$$
Так как функция $$y=\sqrt[8]{t}$$ возрастает, получаем:
$$x^2+\sqrt{x}\ge 5x-4+\sqrt{x}$$
$$x^2-5x+4\ge 0$$
$$ (x-1)(x-4)\ge 0 $$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ имеем:
$$x\in [0;1]\cup [4;+\infty)$$
б) $$\sqrt[6]{x^2+\sqrt{x}}\ge \sqrt[6]{3x-2+\sqrt{x}}$$
Так как функция $$y=\sqrt[6]{t}$$ возрастает, получаем:
$$x^2+\sqrt{x}\ge 3x-2+\sqrt{x}$$
$$x^2-3x+2\ge 0$$
$$ (x-1)(x-2)\ge 0 $$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ имеем:
$$x\in [0;1]\cup [2;+\infty)$$
в) $$\sqrt[10]{x^2-\sqrt{x}}\ge \sqrt[10]{5x-4-\sqrt{x}}$$
Так как функция $$y=\sqrt[10]{t}$$ возрастает, получаем:
$$x^2-\sqrt{x}\ge 5x-4-\sqrt{x}$$
$$x^2-5x+4\ge 0$$
$$ (x-1)(x-4)\ge 0 $$
С учётом области определения $$x^2-\sqrt{x}\ge 0$$ и $$5x-4-\sqrt{x}\ge 0$$, а также $$x\ge 0$$, получаем:
$$x\in \{1\}\cup [4;+\infty)$$
г) $$\sqrt[12]{x^2-\sqrt{x}}\ge \sqrt[12]{3x-2-\sqrt{x}}$$
Так как функция $$y=\sqrt[12]{t}$$ возрастает, получаем:
$$x^2-\sqrt{x}\ge 3x-2-\sqrt{x}$$
$$x^2-3x+2\ge 0$$
$$ (x-1)(x-2)\ge 0 $$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ имеем:
$$x\in \{1\}\cup [2;+\infty)$$
Ответ
а) $$x\in [0;1]\cup [4;+\infty)$$; б) $$x\in [0;1]\cup [2;+\infty)$$; в) $$x\in \{1\}\cup [4;+\infty)$$; г) $$x\in \{1\}\cup [2;+\infty)$$.
