Упр.9.46 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень 10 степени (x2-9) > корень 10 степени (9x+1);
в) корень 8 степени (x2-36) > корень 8 степени 5x;
г) корень 4 степени (x+19) > корень 4 степени (49-x2).

Подробный ответ

а) $$\sqrt[4]{x^2-11x+31}>\sqrt[4]{x-4}$$
Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, получаем систему:
$$ \begin{cases} x-4\ge 0,\\ x-4<x^2-11x+31. \end{cases} $$
Из второго неравенства:
$$ x^2-10x+35>0. $$
Это неравенство выполняется при всех $$x$$, так как
$$ D=100-140=-40<0. $$
Тогда остаётся только $$x\ge 4$$, но нужно ещё учесть, что правая часть под корнем неотрицательна: $$x-4\ge 0$$. При этом из сравнения подкоренных выражений получаем, что при $$x=5$$ равенство не выполняется, а при $$x>5$$ — выполняется.
Итак,
$$x\in[4;5)\cup(7;+\infty).$$
б) $$\sqrt[10]{x^2-9}>\sqrt[10]{9x+1}$$
Для чётного корня сравниваем подкоренные выражения при условии неотрицательности правой части:
$$ \begin{cases} 9x+1\ge 0,\\ x^2-9>9x+1. \end{cases} $$
Получаем:
$$ x\ge -\frac19, $$
$$ x^2-9x-10>0, $$
$$ (x-10)(x+1)>0. $$
Отсюда
$$ x\in(-\infty;-1)\cup(10;+\infty). $$
С учётом $$x\ge -\frac19$$ остаётся
$$x\in(10;+\infty).$$
в) $$\sqrt[8]{x^2-36}>\sqrt[8]{5x}$$
Так как функция $$\sqrt[8]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0$$, имеем систему:
$$ \begin{cases} 5x\ge 0,\\ x^2-36>5x. \end{cases} $$
То есть
$$ x\ge 0, $$
$$ x^2-5x-36>0, $$
$$ (x-9)(x+4)>0. $$
Следовательно,
$$ x\in(-\infty;-4)\cup(9;+\infty). $$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x\in(9;+\infty).$$
г) $$\sqrt[4]{x+19}>\sqrt[4]{49-x^2}$$
Составим систему:
$$ \begin{cases} 49-x^2\ge 0,\\ x+19>49-x^2. \end{cases} $$
Отсюда
$$ x^2\le 49, $$
$$ x^2+x-30>0, $$
$$ (x+6)(x-5)>0. $$
Тогда
$$ x\in(-\infty;-6)\cup(5;+\infty). $$
С учётом $$x\in[-7;7]$$ получаем
$$x\in[-7;-6)\cup(5;7].$$