Упр.9.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (2x+1) > x-1.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2x-1}>x-2$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x-2<0,$$ то есть $$x<2,$$ правая часть отрицательна, а левая $$\sqrt{2x-1}\ge 0,$$ значит неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых определён корень:

$$2x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge \frac12.$$

Тогда получаем $$x\in \left[\frac12;2\right).$$

2) Если $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2,$$ можно возвести обе части в квадрат:

$$ 2x-1>(x-2)^2 $$

$$ 2x-1>x^2-4x+4 $$

$$ x^2-6x+5<0 $$

$$ (x-1)(x-5)<0 $$

Отсюда $$x\in(1;5).$$ С учётом условия $$x\ge 2$$ получаем $$x\in[2;5).$$

Объединяя результаты, имеем:

$$x\in \left[\frac12;5\right).$$

б) $$\sqrt{2x+1}>x-1$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x-1<0,$$ то есть $$x<1,$$ правая часть отрицательна, а левая $$\sqrt{2x+1}\ge 0,$$ значит неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых определён корень:

$$2x+1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac12.$$

Тогда получаем $$x\in \left[-\frac12;1\right).$$

2) Если $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1,$$ возводим обе части в квадрат:

$$ 2x+1>(x-1)^2 $$

$$ 2x+1>x^2-2x+1 $$

$$ x^2-4x<0 $$

$$ x(x-4)<0 $$

Отсюда $$x\in(0;4).$$ С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем $$x\in[1;4).$$

Объединяя результаты, имеем:

$$x\in \left[-\frac12;4\right).$$