Упр.9.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 9.44. а) Решите неравенство $$\sqrt{2x-1}

а) $$\sqrt{2x-1}<x-2$$

Чтобы неравенство было равносильно системе, нужно учесть область допустимых значений и условие положительности правой части:

$$\begin{cases} 2x-1<(x-2)^2,\\ 2x-1\ge 0,\\ x-2>0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$2x-1<x^2-4x+4$$
$$x^2-6x+5>0$$
$$(x-1)(x-5)>0$$
$$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty).$$

Теперь пересечём с условиями $$x\ge \frac12$$ и $$x>2$$:

$$\left((-\infty;1)\cup(5;+\infty)\right)\cap(2;+\infty)=(5;+\infty).$$

б) $$\sqrt{2x+1}<x-1$$

Составим равносильную систему:

$$\begin{cases} 2x+1<(x-1)^2,\\ 2x+1\ge 0,\\ x-1>0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$2x+1<x^2-2x+1$$
$$x^2-4x>0$$
$$x(x-4)>0$$
$$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$$

С учётом условий $$x\ge -\frac12$$ и $$x>1$$ получаем:

$$\left((-\infty;0)\cup(4;+\infty)\right)\cap(1;+\infty)=(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(5;+\infty)$$; б) $$x\in(4;+\infty)$$.