Упр.9.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.43* Докажите справедливость утверждений 1—5.

1. Для неотрицательных чисел можно возвести обе части неравенства в степень $$2m$$, не меняя знак неравенства. Поэтому

   $$\sqrt[2m]{f(x)}<g(x) \iff \begin{cases} f(x)<(g(x))^{2m}, \\ f(x)\ge 0, \\ g(x)>0. \end{cases}$$

   Обратно, из этой системы следует $$\sqrt[2m]{f(x)}<g(x).$$ Значит, неравенство и система равносильны.

2. Если $$\sqrt[2m]{f(x)}>g(x),$$ то обязательно $$f(x)\ge 0.$$

   При $$g(x)\ge 0$$ можно возвести обе части в степень $$2m$$ и получить $$f(x)>(g(x))^{2m}.$$

   Если же $$g(x)<0,$$ то неравенство выполняется автоматически при $$f(x)\ge 0,$$ так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна.

   Следовательно,

   $$\sqrt[2m]{f(x)}>g(x) \iff \begin{cases} f(x)>(g(x))^{2m}, \\ f(x)\ge 0, \\ g(x)<0. \end{cases}$$

3. Для неотрицательных чисел функция $$t\mapsto \sqrt[2m]{t}$$ возрастает, поэтому

   $$\sqrt[2m]{f(x)}<\sqrt[2m]{g(x)} \iff 0\le f(x)<g(x).$$

4. Логарифмическая функция при $$a>1$$ возрастает, а при $$0<a<1$$ убывает. Поэтому

   $$\log_a f(x)>\log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x)>g(x)>0, & a>1, \\ 0<f(x)<g(x), & 0<a<1. \end{cases}$$

5. Если $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0,$$ то это равносильно $$f(x)>0,$$ при условии, что выражение определено, то есть $$x\in D(\varphi).$$

   Значит,

   $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0 \iff \begin{cases} f(x)>0, \\ x\in D(\varphi). \end{cases}$$

Ответ

1) $$\sqrt[2m]{f(x)}<g(x)\iff \begin{cases} f(x)<(g(x))^{2m}, \\ f(x)\ge 0, \\ g(x)>0. \end{cases}$$

2) $$\sqrt[2m]{f(x)}>g(x)\iff \begin{cases} f(x)>(g(x))^{2m}, \\ f(x)\ge 0, \\ g(x)<0. \end{cases}$$

3) $$\sqrt[2m]{f(x)}<\sqrt[2m]{g(x)}\iff 0\le f(x)<g(x).$$

4) $$\log_a f(x)>\log_a g(x)\iff \begin{cases} f(x)>g(x)>0, & a>1, \\ 0<f(x)<g(x), & 0<a<1. \end{cases}$$

5) $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0\iff \begin{cases} f(x)>0, \\ x\in D(\varphi). \end{cases}$$