Упр.9.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$e^{x^2-4x+5}+\sqrt[3]{x^2-4x+5}=e^{2x^2-3x+7}+\sqrt[3]{2x^2-3x+7}$$;
б) $$\pi^{x^2+1000}+\sqrt[9]{x^2+1000}=\pi^{2002x-1001}+\sqrt[9]{2002x-1001}$$;
в) $$\frac{1}{2}\sin x-\sqrt[5]{\sin x}=\frac{1}{2}\cos x-\sqrt[5]{\cos x}$$;
г) $$\frac{1}{3}\sin x-(-\sin x)^{2001}=\frac{1}{3}\sin 2x-(\sin x)^{4002}$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(u)=e^u+\sqrt[3]{u}.$$
Она определена при всех $$u\in \mathbb{R}$$ и возрастает на всей числовой прямой, так как обе функции $$e^u$$ и $$\sqrt[3]{u}$$ возрастают.
Значит, исходное уравнение равносильно уравнению
$$x^2-4x+5=2x^2-3x+7.$$
Получаем
$$x^2+x+2=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-8=-7<0.$$
Корней нет.
б) Рассмотрим функцию $$f(u)=\pi^u+\sqrt[9]{u}.$$
Она определена при всех $$u\in \mathbb{R}$$ и возрастает на всей числовой прямой.
Тогда уравнение равносильно
$$x^2+1000=2002x-1001.$$
Имеем
$$x^2-2002x+2001=0.$$
$$D=2002^2-4\cdot 2001=4004004-8004=3996000,$$
но удобнее разложить на множители:
$$x^2-2002x+2001=(x-1)(x-2001).$$
Следовательно,
$$x=1 \text{ или } x=2001.$$
в) Рассмотрим функцию $$f(u)=\left(\frac12\right)^u-\sqrt[5]{-u}.$$
Она определена при всех $$u\in \mathbb{R}$$ и убывает на всей числовой прямой.
Значит, уравнение равносильно
$$\sin x=\cos x.$$
Тогда
$$\tg x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
г) Рассмотрим функцию $$f(u)=\left(\frac13\right)^u-u^{2001}.$$
Она определена при всех $$u\in \mathbb{R}$$ и убывает на всей числовой прямой.
Поэтому исходное уравнение равносильно
$$\sin x=\sin^2 x.$$
Тогда
$$\sin x-\sin^2 x=0,$$
$$\sin x(1-\sin x)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$
Следовательно,
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
или
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) корней нет; б) $$x=1,\;2001$$; в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$; г) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$.
