Упр.9.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

9. а) $$\sqrt{x^2+4}+\sqrt[4]{x^2+5}+\sqrt[6]{x^2+6}=\sqrt{4x}+\sqrt[4]{4x+1}+\sqrt[6]{4x+2}$$;
   б) $$\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{2x+3}+\sqrt[6]{3x+7}=\sqrt{2x}+\sqrt[4]{4x+1}+\sqrt[6]{6x+4}$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2+4}+\sqrt[4]{x^2+5}+\sqrt[6]{x^2+6}=\sqrt{4x}+\sqrt[4]{4x+1}+\sqrt[6]{4x+2}.$$

Чтобы равенство было верным, достаточно приравнять подкоренные выражения в каждой паре:

$$\begin{cases} x^2+4=4x,\\ x^2+5=4x+1,\\ x^2+6=4x+2,\\ 4x\ge 0,\\ 4x+1\ge 0,\\ 4x+2\ge 0. \end{cases}$$

Из первых трёх уравнений получаем:

$$x^2-4x+4=0,$$

то есть

$$(x-2)^2=0.$$

Следовательно, $$x=2.$$ Проверка области допустимых значений выполнена: при $$x=2$$ все подкоренные выражения неотрицательны.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{2x+3}+\sqrt[6]{3x+7}=\sqrt{2x}+\sqrt[4]{4x+1}+\sqrt[6]{6x+4}.$$

Аналогично, приравниваем подкоренные выражения:

$$\begin{cases} x+1=2x,\\ 2x+3=4x+1,\\ 3x+7=6x+4,\\ x+1\ge 0,\\ 2x\ge 0,\\ 4x+1\ge 0,\\ 2x+3\ge 0,\\ 3x+7\ge 0,\\ 6x+4\ge 0. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x=1.$$

Проверка показывает, что при $$x=1$$ все подкоренные выражения неотрицательны, значит это решение подходит.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=1$$.