Упр.9.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень 4 степени (х2 — x -3) + корень (x2-x+5) = корень 4 степени (2х + 1) + корень (2х + 9); в) корень (sinx — 0,1) + корень 4 степени (sinx + 0,9) = корень (cosx + 0,9) + корень 4 степени (cosx + 1,9);
г) корень 4 степени tgx + корень (tg x + 1) = корень 4 степени (2 — ctgx) + корень (3 — ctg x).

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{x^2-5}+\sqrt[4]{x^2-3}=\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+3}.$$

   Оно равносильно системе

   $$ \begin{cases} \sqrt{x^2-5}=\sqrt{x+1},\\ \sqrt[4]{x^2-3}=\sqrt[4]{x+3}. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} x^2-5=x+1,\\ x^2-3=x+3, \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2\ge 5,\\ x\ge -1. \end{cases} $$

   Из уравнений получаем

   $$x^2-x-6=0,$$

   откуда

   $$x=-2 \text{ или } x=3.$$

   Проверяем ОДЗ: подходит только $$x=3.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[4]{x^2-x-3}+\sqrt{x^2-x+5}=\sqrt[4]{2x+1}+\sqrt{2x+9}.$$

   Оно равносильно системе

   $$ \begin{cases} \sqrt[4]{x^2-x-3}=\sqrt[4]{2x+1},\\ \sqrt{x^2-x+5}=\sqrt{2x+9}. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} x^2-x-3=2x+1,\\ x^2-x+5=2x+9, \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-x-3\ge 0,\\ x\ge -\dfrac12. \end{cases} $$

   Из уравнений получаем

   $$x^2-3x-4=0,$$

   откуда

   $$x=-1 \text{ или } x=4.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=4.$$

3. в) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{\sin x-0{,}1}+\sqrt[4]{\sin x+0{,}9}=\sqrt{\cos x+0{,}9}+\sqrt[4]{\cos x+1{,}9}.$$

   Оно равносильно системе

   $$ \begin{cases} \sqrt{\sin x-0{,}1}=\sqrt{\cos x+0{,}9},\\ \sqrt[4]{\sin x+0{,}9}=\sqrt[4]{\cos x+1{,}9}. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} \sin x-0{,}1=\cos x+0{,}9,\\ \sin x+0{,}9=\cos x+1{,}9, \end{cases} \qquad \begin{cases} \sin x\ge 0{,}1,\\ \cos x\ge -0{,}9. \end{cases} $$

   Из равенств получаем

   $$\sin x-\cos x=1.$$

   При этом нужно, чтобы $$\sin x\ge 0{,}1$$ и $$\cos x\ge -0{,}9.$$

   Подходит

   $$\sin x=1,\qquad \cos x=0,$$

   то есть

   $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[4]{\tg x}+\sqrt{\tg x+1}=\sqrt[4]{2-\ctg x}+\sqrt{3-\ctg x}.$$

   Оно равносильно системе

   $$ \begin{cases} \sqrt[4]{\tg x}=\sqrt[4]{2-\ctg x},\\ \sqrt{\tg x+1}=\sqrt{3-\ctg x}. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} \tg x=2-\ctg x,\\ \tg x+1=3-\ctg x, \end{cases} \qquad \begin{cases} \tg x\ge 0,\\ \ctg x\le 2. \end{cases} $$

   Из первого равенства:

   $$\tg x+\ctg x=2.$$

   Пусть $$t=\tg x,$$ тогда $$\ctg x=\dfrac1t$$ и

   $$t+\dfrac1t=2.$$

   Отсюда

   $$ (t-1)^2=0,\qquad t=1. $$

   Следовательно,

   $$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=4$$; в) $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.