Упр.9.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log0,2(sinx) — 5sinx — корень 4 степени sinx = log0,2(-cosx) — 5^-cosx — корень 4 степени -cosx.

Рассмотрим функцию $$f(u)=\log_{0,5}u+\left(\frac13\right)^u-\sqrt[7]{u}.$$

Её область определения: $$u>0.$$ На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ все три слагаемых убывают, значит и функция $$f(u)$$ убывает.

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} \tg x=\ctg x,\\ \tg x>0. \end{cases} $$

Из уравнения $$\tg x=\ctg x$$ получаем:

$$\tg^2 x=1,$$

а с учётом условия $$\tg x>0$$ имеем $$\tg x=1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ход решения

Рассмотрим функцию $$f(u)=\log_{0,2}u-5^u-\sqrt[4]{u}.$$

Её область определения: $$u>0.$$ На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(u)$$ убывает, так как каждое из слагаемых убывает.

Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} \sin x=-\cos x,\\ \sin x>0. \end{cases} $$

Из уравнения $$\sin x=-\cos x$$ получаем:

$$\tg x=-1.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$