Упр.9.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

9.38 а) arcsin(x2 — 80,5) = arcsin(x — 8,5);
б) arccos(x2 — 9) = arccos(7x + 21);
в) arctg(x2 — 1) = arctg(5x — 5);
г) arcctg(x2 — 1) = arcctg(6x — 6).

Подробный ответ

а) $$\arcsin(x^2-80{,}5)=\arcsin(x-8{,}5)$$
Так как функция $$\arcsin u$$ возрастает на $$[-1;1]$$, то уравнение равносильно системе
$$ \begin{cases} x^2-80{,}5=x-8{,}5,\\ -1\le x-8{,}5\le 1. \end{cases} $$
Из первого уравнения получаем
$$ x^2-x-72=0, $$
$$ (x-9)(x+8)=0. $$
Отсюда $$x=9$$ или $$x=-8$$. Условию $$-1\le x-8{,}5\le 1$$ удовлетворяет только $$x=9$$.
б) $$\arccos(x^2-9)=\arccos(7x+21)$$
Функция $$\arccos u$$ убывает на $$[-1;1]$$, поэтому уравнение равносильно системе
$$ \begin{cases} x^2-9=7x+21,\\ -1\le 7x+21\le 1. \end{cases} $$
Решим первое уравнение:
$$ x^2-7x-30=0, $$
$$ (x-10)(x+3)=0. $$
Получаем $$x=10$$ или $$x=-3$$. Проверим условие области определения:
$$ -1\le 7x+21\le 1 \;\Rightarrow\; -\frac{22}{7}\le x\le -\frac{20}{7}. $$
Подходит только $$x=-3$$.
в) $$\arctg(x^2-1)=\arctg(5x-5)$$
Так как функция $$\arctg u$$ возрастает на всей числовой прямой, то
$$ x^2-1=5x-5. $$
$$ x^2-5x+4=0, $$
$$ (x-1)(x-4)=0. $$
Следовательно, $$x=1$$ или $$x=4$$.
г) $$\operatorname{arcctg}(x^2-1)=\operatorname{arcctg}(6x-6)$$
Функция $$\operatorname{arcctg} u$$ убывает на всей числовой прямой, значит
$$ x^2-1=6x-6. $$
$$ x^2-6x+5=0, $$
$$ (x-1)(x-5)=0. $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=5$$.