Упр.9.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.37 Докажите, что каждое из уравнений arctgf(x) = arctgg(x) и arcctgf(x) = arcctgg(x) равносильно уравнению f(x) = g(x). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 9-37 118

Функция $$y=\arctg x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и строго возрастает на всей числовой прямой. Поэтому из равенства

$$\arctg f(x)=\arctg g(x)$$

следует и достаточно, чтобы

$$f(x)=g(x).$$

Действительно, для строго возрастающей функции равенство значений возможно только при равенстве аргументов.

Аналогично, функция $$y=\arcctg x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и строго убывает на всей числовой прямой. Значит, из равенства

$$\arcctg f(x)=\arcctg g(x)$$

также следует и достаточно, чтобы

$$f(x)=g(x).$$

Следовательно, каждое из данных уравнений равносильно уравнению $$f(x)=g(x).$$

Ответ

$$\arctg f(x)=\arctg g(x)\iff f(x)=g(x),\qquad \arcctg f(x)=\arcctg g(x)\iff f(x)=g(x).$$