Упр.9.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что каждое из уравнений $$\operatorname{arctg} f(x)=\operatorname{arctg} g(x)$$ и $$\operatorname{arcctg} f(x)=\operatorname{arcctg} g(x)$$ равносильно уравнению $$f(x)=g(x)$$.

Функция $$y=\arctg x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и строго возрастает на всей числовой прямой. Поэтому из равенства

$$\arctg f(x)=\arctg g(x)$$

следует и достаточно, чтобы

$$f(x)=g(x).$$

Действительно, для строго возрастающей функции равенство значений возможно только при равенстве аргументов.

Аналогично, функция $$y=\arcctg x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и строго убывает на всей числовой прямой. Значит, из равенства

$$\arcctg f(x)=\arcctg g(x)$$

также следует и достаточно, чтобы

$$f(x)=g(x).$$

Следовательно, каждое из данных уравнений равносильно уравнению $$f(x)=g(x).$$

Ответ

$$\arctg f(x)=\arctg g(x)\iff f(x)=g(x),\qquad \arcctg f(x)=\arcctg g(x)\iff f(x)=g(x).$$