Упр.9.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.34* При каких значениях параметра а уравнение x/(x-a) + 1/(x+a)=2/(x2-a2) имеет единственный корень? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 9-34 118

Подробный ответ

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x-a}+\frac{1}{x+a}-\frac{2}{x^2-a^2}=0,$$

$$\frac{x(x+a)+(x-a)-2}{x^2-a^2}=0,$$

откуда

$$x^2+(a+1)x-(a+2)=0,$$

при условиях

$$x\ne a,\qquad x\ne -a.$$

Рассмотрим квадратное уравнение:

$$D=(a+1)^2+4(a+2)=a^2+6a+9=(a+3)^2.$$

1) Если $$a=-3,$$ то

$$x^2-2x+1=0,$$

$$x=1.$$

Проверка ОДЗ: $$1\ne 3$$ и $$1\ne -3,$$ значит, корень подходит. В этом случае корень единственный.

2) Если $$a\ne -3,$$ то уравнение имеет два корня:

$$x_{1,2}=\frac{-(a+1)\pm(a+3)}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-a-2,\qquad x_2=1.$$

Чтобы корень был единственным, один из них должен не удовлетворять ОДЗ.

Проверим:

для $$x=1$$ нужно $$1\ne a$$ и $$1\ne -a,$$ то есть $$a\ne 1$$;
для $$x=-a-2$$ нужно $$-a-2\ne a$$ и $$-a-2\ne -a,$$ то есть $$a\ne -1$$.

Значит, при $$a=1$$ корень $$x=-3$$ подходит, а $$x=1$$ не подходит; при $$a=-1$$ корень $$x=1$$ подходит, а $$x=-1$$ не подходит. В обоих случаях остаётся ровно один корень.