Упр.9.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.33 Сколько корней имеет уравнение:

Рассмотрим уравнение

$$\sin \frac{\pi x}{3}\,(\lg(x+5)+\lg(400-x))=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом должны выполняться условия существования логарифмов:

$$x+5>0,\qquad 400-x>0,$$

то есть

$$-5<x<400.$$

Тогда получаем совокупность:

$$ \begin{cases} \sin \dfrac{\pi x}{3}=0,\\ -5<x<400 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \lg(x+5)+\lg(400-x)=0,\\ -5<x<400. \end{cases} $$

1) Из первого уравнения:

$$\sin \frac{\pi x}{3}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\pi x}{3}=\pi k,\ k\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=3k.$$

С учётом $$-5<3k<400$$ получаем

$$-\frac{5}{3}<k<\frac{400}{3}.$$

Значит, $$k=-1,0,1,\dots,133,$$ всего $$135$$ значений.

2) Из второго уравнения:

$$\lg(x+5)+\lg(400-x)=0$$

$$\lg\bigl((x+5)(400-x)\bigr)=0,$$

откуда

$$ (x+5)(400-x)=1.$$

Раскроем скобки:

$$-x^2+395x+1999=0,$$

или

$$x^2-395x-1999=0.$$

У этого уравнения два корня, и оба удовлетворяют условию $$-5<x<400$$, значит, они дают ещё 2 решения.

Итак, всего решений:

$$135+2=137.$$

Ответ

$$137$$