Упр.9.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) logx-2(2х2 — 9х + 21) = logx-2(х2 + х).

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_{x-1}(x^2+2x)=\log_{x-1}(2x^2-8x+16).$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то при выполнении ОДЗ получаем

$$x^2+2x=2x^2-8x+16.$$

Кроме того, должны выполняться условия:

$$x^2+2x>0,$$

$$2x^2-8x+16>0,$$

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1.$$

Решим уравнение:

$$x^2-10x+16=0,$$

$$D=100-64=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=8,\quad x_2=2.$$

Проверим ОДЗ: при $$x=8$$ все условия выполняются, а при $$x=2$$ основание равно $$1$$, что недопустимо. Значит, подходит только $$x=8$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{x-2}(2x^2-9x+21)=\log_{x-2}(x^2+x).$$

При выполнении ОДЗ получаем

$$2x^2-9x+21=x^2+x.$$

Также должны выполняться условия:

$$2x^2-9x+21>0,$$

$$x^2+x>0,$$

$$x-2>0,\quad x-2\ne 1.$$

Решим уравнение:

$$x^2-10x+21=0,$$

$$D=100-84=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}.$$

Получаем

$$x_1=7,\quad x_2=3.$$

Проверим ОДЗ: $$x>2$$ и $$x\ne 3$$, значит $$x=3$$ не подходит, а $$x=7$$ подходит.

Ответ

а) $$8$$; б) $$7$$.