Упр.9.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (3x — 9) + корень (3x — 3) = корень (2* 3х — 12);
в) корень (log5(x) — 1) + корень (2x-2) = корень (log5(x) + 2x-3);
г) корень (log6(x) — 1) + корень (3x-9) = корень (log6(x) + 3x-10).
Используем свойство: если $$\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{A+B},$$ то достаточно, чтобы выполнялись условия $$A\ge 0,$$ $$B\ge 0,$$ и одно из подкоренных выражений было равно нулю, а другое неотрицательно. Тогда уравнение сводится к системе.
а) $$\sqrt{2^x-4}+\sqrt{2^x-8}=\sqrt{2^{x+1}-12}.$$
Пусть $$A=2^x-4,$$ $$B=2^x-8.$$ Тогда $$A+B=2^{x+1}-12.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} 2^x-4=0,\\ 2^x-8\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2^x-8=0,\\ 2^x-4\ge 0 \end{cases} $$
Из первой системы получаем $$2^x=4,$$ то есть $$x=2,$$ но тогда $$2^x-8<0,$$ значит, решений нет.
Из второй системы получаем $$2^x=8,$$ то есть $$x=3,$$ и это значение подходит.
б) $$\sqrt{3^x-9}+\sqrt{3^x-3}=\sqrt{2\cdot 3^x-12}.$$
Пусть $$A=3^x-9,$$ $$B=3^x-3.$$ Тогда $$A+B=2\cdot 3^x-12.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} 3^x-9=0,\\ 3^x-3\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3^x-3=0,\\ 3^x-9\ge 0 \end{cases} $$
Первая система даёт $$3^x=9,$$ то есть $$x=2,$$ но тогда $$3^x-3>0,$$ однако подкоренное выражение $$3^x-9$$ равно нулю, а второе неотрицательно, значит, $$x=2$$ подходит.
Во второй системе $$3^x=3,$$ то есть $$x=1,$$ и это значение также подходит.
Но при проверке исходного равенства подходит только $$x=1.$$
в) $$\sqrt{\log_5 x-1}+\sqrt{2^x-2}=\sqrt{\log_5 x+2^x-3}.$$
Пусть $$A=\log_5 x-1,$$ $$B=2^x-2.$$ Тогда $$A+B=\log_5 x+2^x-3.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} \log_5 x-1=0,\\ 2^x-2\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2^x-2=0,\\ \log_5 x-1\ge 0 \end{cases} $$
Из первой системы получаем $$\log_5 x=1,$$ значит, $$x=5,$$ и условие $$2^x-2\ge 0$$ выполняется.
Из второй системы получаем $$2^x=2,$$ то есть $$x=1,$$ но тогда $$\log_5 1-1=-1<0,$$ поэтому это значение не подходит.
г) $$\sqrt{\log_6 x-1}+\sqrt{3^x-9}=\sqrt{\log_6 x+3^x-10}.$$
Пусть $$A=\log_6 x-1,$$ $$B=3^x-9.$$ Тогда $$A+B=\log_6 x+3^x-10.$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} \log_6 x-1=0,\\ 3^x-9\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3^x-9=0,\\ \log_6 x-1\ge 0 \end{cases} $$
Из первой системы получаем $$\log_6 x=1,$$ значит, $$x=6,$$ и условие $$3^x-9\ge 0$$ выполняется.
Из второй системы получаем $$3^x=9,$$ то есть $$x=2,$$ но тогда $$\log_6 2-1<0,$$ поэтому это значение не подходит.
Ответ
а) $$3$$; б) $$1$$; в) $$5$$; г) $$6$$.
