Упр.9.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\left|x^2-4x+21\right|=-x^2+6x-6$$; б) $$\left|x^2-2x-11\right|=-x^2+4x-1$$; в) $$\left|x^2-2x-8\right|=x^2+2x-10$$; г) $$\left|x^2-3x-1\right|=x^2+3x-7$$.

Рассмотрим каждое уравнение как совокупность двух систем: либо выражение под модулем равно правой части, либо оно равно противоположному выражению, при этом правая часть должна быть неотрицательной.

1. а)

   $$|x^2-4x+2|=-x^2+6x-6$$

   $$\begin{cases} x^2-4x+2=-x^2+6x-6,\\ -x^2+6x-6\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-4x+2=x^2-6x+6,\\ -x^2+6x-6\ge 0 \end{cases}$$

   Из первой системы:
   $$2x^2-10x+8=0 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x=1,\;4.$$

   Проверяем условие:
   $$-x^2+6x-6\ge 0 \Rightarrow x^2-6x+6\le 0 \Rightarrow x\in[3-\sqrt3;\,3+\sqrt3].$$
   Подходит только $$x=4.$$

   Из второй системы:
   $$2x-4=0 \Rightarrow x=2,$$
   и
   $$x^2-6x+6\le 0 \Rightarrow x\in[3-\sqrt3;\,3+\sqrt3],$$
   значит $$x=2$$ подходит.

2. б)

   $$|x^2-2x-1|=-x^2+4x-1$$

   $$\begin{cases} x^2-2x-1=-x^2+4x-1,\\ -x^2+4x-1\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-2x-1=x^2-4x+1,\\ -x^2+4x-1\ge 0 \end{cases}$$

   Из первой системы:
   $$2x^2-6x=0 \Rightarrow 2x(x-3)=0 \Rightarrow x=0,\;3.$$
   Условие:
   $$x^2-4x+1\le 0 \Rightarrow x\in[2-\sqrt3;\,2+\sqrt3].$$
   Подходит только $$x=3.$$

   Из второй системы:
   $$2x-2=0 \Rightarrow x=1,$$
   и
   $$x^2-4x+1\le 0 \Rightarrow x\in[2-\sqrt3;\,2+\sqrt3],$$
   значит $$x=1$$ подходит.

3. в)

   $$|x^2-2^x-8|=x^2+2^x-10$$

   $$\begin{cases} x^2-2^x-8=x^2+2^x-10,\\ x^2+2^x-10\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-2^x-8=-x^2-2^x+10,\\ x^2+2^x-10\ge 0 \end{cases}$$

   Из первой системы:
   $$2^x=1 \Rightarrow x=0.$$
   Но
   $$x^2+2^x-10\big|_{x=0}=1-10=-9<0,$$ значит $$x=0$$ не подходит.

   Из второй системы:
   $$2x^2=18 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
   Проверка:
   $$x^2+2^x-10\ge 0.$$
   При $$x=3$$:
   $$9+8-10=7\ge 0,$$
   при $$x=-3$$:
   $$9+\frac18-10<0.$$ Значит подходит только $$x=3.$$

4. г)

   $$|x^2-3^x-1|=x^2+3^x-7$$

   $$\begin{cases} x^2-3^x-1=x^2+3^x-7,\\ x^2+3^x-7\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-3^x-1=-x^2-3^x+7,\\ x^2+3^x-7\ge 0 \end{cases}$$

   Из первой системы:
   $$2\cdot 3^x=6 \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
   Но
   $$1^2+3^1-7=1+3-7=-3<0,$$ значит $$x=1$$ не подходит.

   Из второй системы:
   $$2x^2=8 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
   Проверка:
   $$x^2+3^x-7\ge 0.$$
   При $$x=2$$:
   $$4+9-7=6\ge 0,$$
   при $$x=-2$$:
   $$4+\frac19-7<0.$$ Значит подходит только $$x=2.$$

Ответ

а) $$2,\,4$$; б) $$1,\,3$$; в) $$3$$; г) $$2$$.