Упр.9.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) logx(x3 — 5х + 7) = 3;
в) logx (х + 2) = 2;
г) logx(x + 6) = 2.

Подробный ответ

а) $$\log_x(2x^2-2x-3)=2$$
По определению логарифма:
$$2x^2-2x-3=x^2$$
При этом должны выполняться условия:
$$2x^2-2x-3>0,\quad x>0,\quad x\ne 1$$
Решим уравнение:
$$2x^2-2x-3=x^2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=-1$$
Корень $$x=-1$$ не подходит, так как $$x>0$$.
Проверим $$x=3$$:
$$2\cdot 3^2-2\cdot 3-3=9>0$$
Значит, $$x=3$$.
б) $$\log_x(x^3-5x+7)=3$$
По определению логарифма:
$$x^3-5x+7=x^3$$
При этом:
$$x^3-5x+7>0,\quad x>0,\quad x\ne 1$$
Решим уравнение:
$$x^3-5x+7=x^3$$
$$-5x+7=0$$
$$x=\frac{7}{5}$$
Проверка:
$$\frac{7}{5}>0,\quad \frac{7}{5}\ne 1$$
$$\left(\frac{7}{5}\right)^3-5\cdot \frac{7}{5}+7=\left(\frac{7}{5}\right)^3>0$$
Следовательно, $$x=\frac{7}{5}$$.
в) $$\log_x(x+2)=2$$
По определению логарифма:
$$x+2=x^2$$
Условия:
$$x+2>0,\quad x>0,\quad x\ne 1$$
Решим уравнение:
$$x+2=x^2$$
$$x^2-x-2=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=-1$$
Корень $$x=-1$$ не подходит, так как $$x>0$$.
Проверим $$x=2$$:
$$2+2=4=2^2$$
Значит, $$x=2$$.
г) $$\log_x(x+6)=2$$
По определению логарифма:
$$x+6=x^2$$
Условия:
$$x+6>0,\quad x>0,\quad x\ne 1$$
Решим уравнение:
$$x+6=x^2$$
$$x^2-x-6=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=-2$$
Корень $$x=-2$$ не подходит, так как $$x>0$$.
Проверим $$x=3$$:
$$3+6=9=3^2$$
Значит, $$x=3$$.