Упр.9.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 9.26. Решите уравнение:
   а) $$\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=\log_2(x^2-5x+6);$$
   б) $$\log_3(x-3)+\log_3(4-x)=\log_3(-x^2+7x-12);$$
   в) $$\lg(x^2-5x+6)+\lg(5x-x^2-4)=\lg\bigl((x^2-5x+6)(5x-x^2-4)\bigr).$$

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$x-2>0,\quad x-3>0.$$

Тогда $$x>3.$$

Кроме того,

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Левая и правая части уравнения совпадают при всех значениях из ОДЗ, значит, решение:

$$x\in(3;+\infty).$$

б) Найдём ОДЗ:

$$x-3>0,\quad 4-x>0.$$

Отсюда

$$3<x<4.$$

Также

$$-x^2+7x-12=-(x-3)(x-4)=(x-3)(4-x).$$

Следовательно, уравнение верно при всех значениях из ОДЗ:

$$x\in(3;4).$$

в) Запишем условия существования логарифмов:

$$x^2-5x+6>0,\quad 5x-x^2-4>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

$$5x-x^2-4=(x-1)(4-x).$$

Тогда получаем систему неравенств:

$$\begin{cases} (x-2)(x-3)>0,\\ (x-1)(4-x)>0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty).$$

Из второго:

$$x\in(1;4).$$

Пересечение множеств:

$$x\in(1;2)\cup(3;4).$$

Ответ

а) $$x\in(3;+\infty)$$; б) $$x\in(3;4)$$; в) $$x\in(1;2)\cup(3;4)$$.