Упр.9.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух систем:

а) $$|f(x)|=g(x);$$ системы $$\begin{cases}f(x)=g(x),\\ g(x)\geqslant0;\end{cases}$$ и $$\begin{cases}f(x)=-g(x),\\ g(x)\geqslant0;\end{cases}$$

б) $$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)+g(x)};$$ системы $$\begin{cases}f(x)=0,\\ g(x)\geqslant0;\end{cases}$$ и $$\begin{cases}g(x)=0,\\ f(x)\geqslant0.\end{cases}$$

а) Докажем равносильность уравнения $$|f(x)|=g(x)$$ и совокупности двух систем:

$$\begin{cases} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} f(x)=-g(x),\\ g(x)\ge 0 \end{cases}$$

Пусть $$x_0$$ — решение уравнения $$|f(x)|=g(x)$$. Тогда

$$|f(x_0)|=g(x_0).$$

По определению модуля это равенство равносильно совокупности:

$$\begin{cases} f(x_0)=g(x_0),\\ g(x_0)\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} f(x_0)=-g(x_0),\\ g(x_0)\ge 0 \end{cases}$$

Значит, любое решение уравнения является решением указанной совокупности систем.

Обратно, пусть $$x_1$$ — решение одной из этих систем. Тогда либо

$$\begin{cases} f(x_1)=g(x_1),\\ g(x_1)\ge 0 \end{cases}$$

либо

$$\begin{cases} f(x_1)=-g(x_1),\\ g(x_1)\ge 0 \end{cases}$$

В обоих случаях получаем $$|f(x_1)|=g(x_1)$$. Следовательно, любое решение совокупности систем является решением исходного уравнения.

Итак, уравнение $$|f(x)|=g(x)$$ равносильно совокупности двух систем.

б) Докажем равносильность уравнения

$$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)+g(x)}$$

и совокупности систем:

$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ge 0 \end{cases} \qquad \text{и} \qquad \begin{cases} g(x)=0,\\ f(x)\ge 0 \end{cases}$$

Пусть $$x_0$$ — решение уравнения. Тогда должны существовать корни $$\sqrt{f(x_0)}$$ и $$\sqrt{g(x_0)}$$, то есть

$$f(x_0)\ge 0,\qquad g(x_0)\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{f(x_0)}+\sqrt{g(x_0)}\right)^2=f(x_0)+g(x_0).$$

Получаем

$$f(x_0)+g(x_0)+2\sqrt{f(x_0)g(x_0)}=f(x_0)+g(x_0),$$

откуда

$$\sqrt{f(x_0)g(x_0)}=0,$$

значит,

$$f(x_0)=0 \quad \text{или} \quad g(x_0)=0.$$

Следовательно, решение уравнения удовлетворяет одной из систем:

$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} g(x)=0,\\ f(x)\ge 0 \end{cases}$$

Обратно, пусть $$x_1$$ — решение одной из этих систем. Если

$$\begin{cases} f(x_1)=0,\\ g(x_1)\ge 0 \end{cases}$$

то

$$\sqrt{f(x_1)}+\sqrt{g(x_1)}=0+\sqrt{g(x_1)}=\sqrt{g(x_1)}=\sqrt{f(x_1)+g(x_1)}.$$

Аналогично, если

$$\begin{cases} g(x_1)=0,\\ f(x_1)\ge 0 \end{cases}$$

то

$$\sqrt{f(x_1)}+\sqrt{g(x_1)}=\sqrt{f(x_1)}+0=\sqrt{f(x_1)}=\sqrt{f(x_1)+g(x_1)}.$$

Значит, любое решение совокупности систем является решением исходного уравнения.

Итак, уравнение $$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)+g(x)}$$ равносильно указанной совокупности двух систем.

Ответ

а) $$|f(x)|=g(x)$$ равносильно совокупности
$$\begin{cases} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} f(x)=-g(x),\\ g(x)\ge 0 \end{cases}$$
б) $$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)+g(x)}$$ равносильно совокупности
$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ge 0 \end{cases} \quad \text{и} \quad \begin{cases} g(x)=0,\\ f(x)\ge 0 \end{cases}$$