Упр.9.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Докажите, что равносильны уравнение и система:
а) $$\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)$$ и система $$f(x)>0,\quad g(x)>0,\quad a>0,\quad a\ne1$$;
б) $$\log_{g(x)} f(x)=\log_{g(x)}\varphi(x)$$ и система $$f(x)=\varphi(x),\quad f(x)>0,\quad \varphi(x)>0,\quad g(x)>0,\quad g(x)\ne1$$.
а) Докажем равносильность уравнения
$$\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)$$
и системы
$$\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0, \end{cases}$$
где $$a>0,\ a\ne 1.$$
Если число $$x_0$$ — решение уравнения, то существуют логарифмы $$\log_a f(x_0)$$ и $$\log_a g(x_0)$$. Значит,
$$f(x_0)>0,\qquad g(x_0)>0.$$
Следовательно, $$x_0$$ удовлетворяет системе.
Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет системе, то $$f(x_1)>0$$ и $$g(x_1)>0$$, поэтому оба логарифма существуют и можно применить свойство
$$\log_a u+\log_a v=\log_a(uv).$$
Тогда
$$\log_a f(x_1)+\log_a g(x_1)=\log_a\bigl(f(x_1)\cdot g(x_1)\bigr),$$
то есть $$x_1$$ — решение уравнения.
Итак, уравнение и система равносильны.
б) Рассмотрим уравнение
$$\log_{g(x)} f(x)=\log_{g(x)} \varphi(x)$$
и систему
$$\begin{cases} f(x)=\varphi(x),\\ f(x)>0,\\ \varphi(x)>0,\\ g(x)>0,\\ g(x)\ne 1. \end{cases}$$
Если $$x_0$$ — решение уравнения, то логарифмы определены, значит,
$$f(x_0)>0,\qquad \varphi(x_0)>0,\qquad g(x_0)>0,\qquad g(x_0)\ne 1.$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то
$$f(x_0)=\varphi(x_0).$$
Следовательно, $$x_0$$ удовлетворяет системе.
Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет системе, то $$f(x_1)=\varphi(x_1)$$ и при этом логарифмы определены. Тогда
$$\log_{g(x_1)} f(x_1)=\log_{g(x_1)} \varphi(x_1),$$
то есть $$x_1$$ — решение уравнения.
Значит, уравнение и система равносильны.
Ответ
В обоих пунктах уравнение равносильно указанной системе.
