Упр.9.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) logaf(x) + logag(x) = loga(f(x) * g((x)) и система
f(x) > 0
g(x) > 0,
где a > 0, a=/1.
б) logg(x)f(x)=logg(x)фи(x) и система
f(x) = фи(x)
f(x) > 0
фи(x) > 0
g(x) > 0
g(x)=/1.

а) Докажем равносильность уравнения

$$\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)$$

и системы

$$ \begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0, \end{cases} $$

где $$a>0,\ a\ne 1.$$

Если число $$x_0$$ — решение уравнения, то существуют логарифмы $$\log_a f(x_0)$$ и $$\log_a g(x_0)$$. Значит,

$$f(x_0)>0,\qquad g(x_0)>0.$$

Следовательно, $$x_0$$ удовлетворяет системе.

Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет системе, то $$f(x_1)>0$$ и $$g(x_1)>0$$, поэтому оба логарифма существуют и можно применить свойство

$$\log_a u+\log_a v=\log_a(uv).$$

Тогда

$$\log_a f(x_1)+\log_a g(x_1)=\log_a\bigl(f(x_1)\cdot g(x_1)\bigr),$$

то есть $$x_1$$ — решение уравнения.

Итак, уравнение и система равносильны.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{g(x)} f(x)=\log_{g(x)} \varphi(x)$$

и систему

$$ \begin{cases} f(x)=\varphi(x),\\ f(x)>0,\\ \varphi(x)>0,\\ g(x)>0,\\ g(x)\ne 1. \end{cases} $$

Если $$x_0$$ — решение уравнения, то логарифмы определены, значит,

$$f(x_0)>0,\qquad \varphi(x_0)>0,\qquad g(x_0)>0,\qquad g(x_0)\ne 1.$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то

$$f(x_0)=\varphi(x_0).$$

Следовательно, $$x_0$$ удовлетворяет системе.

Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет системе, то $$f(x_1)=\varphi(x_1)$$ и при этом логарифмы определены. Тогда

$$\log_{g(x_1)} f(x_1)=\log_{g(x_1)} \varphi(x_1),$$

то есть $$x_1$$ — решение уравнения.

Значит, уравнение и система равносильны.

Ответ

В обоих пунктах уравнение равносильно указанной системе.