Упр.9.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) sin2x/sinx + cos2x/cosx=0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 2x}{x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} \sin 2x=0,\\ x\ne 0. \end{cases} $$

Из уравнения $$\sin 2x=0$$ получаем

$$2x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

При $$n=0$$ получаем $$x=0$$, но это значение не подходит, так как знаменатель обращается в нуль. Значит,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z,\ n\ne 0.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 2x}{\sin x}+\frac{\cos 2x}{\cos x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x}{\sin x\cos x}=0. $$

Числитель преобразуем по формуле синуса суммы:

$$ \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\sin(2x+x)=\sin 3x. $$

Тогда

$$\frac{\sin 3x}{\sin x\cos x}=0.$$

Следовательно,

$$ \begin{cases} \sin 3x=0,\\ \sin x\ne 0,\\ \cos x\ne 0. \end{cases} $$

Из $$\sin 3x=0$$ имеем

$$3x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$

Проверим, какие из этих значений удовлетворяют условиям $$\sin x\ne 0$$ и $$\cos x\ne 0$$. Подходят только те, для которых $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$ или $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$$, где $$k\in \mathbb Z$$.

Итак,

$$x=\pi k\pm \frac{\pi}{3},\quad k\in \mathbb Z.$$