Упр.9.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$(\cos 2x-3\cos x-1)\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+2}=0$$;
   б) $$(\cos 2x-7\cos x+4)\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3)+1}=0$$;
   в) $$(4^{4-x}-2^{x-1})\log_2 x=0$$;
   г) $$(4^{5-x}-2^{x-1})\log_3 x=0$$.

1. а) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$\begin{cases} \cos 2x-3\cos x-1=0,\\ \log_{\frac13}(x-2)+2\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_{\frac13}(x-2)+2=0,\\ x\in \mathbb R \end{cases}$$

   Решим первое уравнение:

   $$\cos 2x-3\cos x-1=0$$

   $$2\cos^2 x-1-3\cos x-1=0$$

   $$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$

   Положим $$t=\cos x$$, тогда $$-1\le t\le 1$$:

   $$2t^2-3t-2=0$$

   $$D=25,\qquad t_1=2,\qquad t_2=-\frac12$$

   Значение $$t=2$$ не подходит, поэтому

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

   Теперь решим неравенство:

   $$\log_{\frac13}(x-2)+2\ge 0$$

   $$\log_{\frac13}(x-2)\ge -2$$

   Так как $$\frac13<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$x-2\le \left(\frac13\right)^{-2}=9,\qquad x>2$$

   $$2<x\le 11$$

   Из найденных корней этому промежутку удовлетворяют:

   $$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

   Решим вторую систему:

   $$\log_{\frac13}(x-2)+2=0$$

   $$\log_{\frac13}(x-2)=-2$$

   $$x-2=\left(\frac13\right)^{-2}=9$$

   $$x=11$$

2. б) Аналогично получаем:

   $$\begin{cases} \cos 2x+7\cos x+4=0,\\ \log_{\frac12}(x-3)+1\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_{\frac12}(x-3)+1=0,\\ x\in \mathbb R \end{cases}$$

   Решим первое уравнение:

   $$\cos 2x+7\cos x+4=0$$

   $$2\cos^2 x-1+7\cos x+4=0$$

   $$2\cos^2 x+7\cos x+3=0$$

   Положим $$t=\cos x$$:

   $$2t^2+7t+3=0$$

   $$D=25,\qquad t_1=-3,\qquad t_2=-\frac12$$

   Значение $$t=-3$$ не подходит, поэтому

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

   Решим неравенство:

   $$\log_{\frac12}(x-3)+1\ge 0$$

   $$\log_{\frac12}(x-3)\ge -1$$

   Так как $$\frac12<1$$, получаем:

   $$x-3\le \left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad x>3$$

   $$3<x\le 5$$

   Из корней уравнения этому промежутку не удовлетворяет ни один.

   Решим вторую систему:

   $$\log_{\frac12}(x-3)=-1$$

   $$x-3=\left(\frac12\right)^{-1}=2$$

   $$x=5$$

3. в) Рассмотрим уравнение:

   $$\left(4^{4-x}-2^{x-1}\right)\log_2 x=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 4^{4-x}-2^{x-1}=0,\\ x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_2 x=0,\\ x>0 \end{cases}$$

   1) $$4^{4-x}-2^{x-1}=0$$:

   $$2^{8-2x}-2^{x-1}=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:

   $$\frac{2^8}{t^2}-\frac{t}{2}=0$$

   $$2^9=t^3$$

   $$t=2^3$$

   $$2^x=2^3,\qquad x=3$$

   2) $$\log_2 x=0$$:

   $$x=1$$

4. г) Аналогично:

   $$\left(4^{5-x}-2^{x-1}\right)\log_3 x=0$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 4^{5-x}-2^{x-1}=0,\\ x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_3 x=0,\\ x>0 \end{cases}$$

   1) $$4^{5-x}-2^{x-1}=0$$:

   $$2^{10-2x}-2^{x-1}=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:

   $$\frac{2^{10}}{t^2}-\frac{t}{2}=0$$

   $$2^{11}=t^3$$

   $$t=2^{\frac{11}{3}}$$

   $$2^x=2^{\frac{11}{3}},\qquad x=\frac{11}{3}$$

   2) $$\log_3 x=0$$:

   $$x=1$$

Ответ

а) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ 11$$; б) $$5$$; в) $$1,\ 3$$; г) $$1,\ \frac{11}{3}$$.