Упр.9.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sin x\log_{11}(4-x^2)=0$$;
б) $$\cos x\log_{12}(9-x^2)=0$$;
в) $$\operatorname{tg}x\log_{13}(x^2-x-6)=0$$;
г) $$\operatorname{ctg}x\log_{14}(x^2+x-12)=0$$.

Подробный ответ

а) Уравнение равносильно совокупности систем:

$$\begin{cases} \sin x = 0,\\ \log_{11}(4-x^2)=0,\\ 4-x^2>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\pi n,\ n\in \mathbb Z,\\ 4-x^2=1,\\ -2<x<2 \end{cases}$$

$$4-x^2=1 \;\Rightarrow\; x^2=3 \;\Rightarrow\; x=\pm \sqrt{3}.$$

Из условия $$\sin x=0$$ получаем $$x=\pi n$$. В промежутке $$-2<x<2$$ подходит только $$x=0$$.

Итак, решения: $$x=-\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}.$$

б) Уравнение равносильно совокупности систем:

$$\begin{cases} \cos x = 0,\\ \log_{12}(9-x^2)=0,\\ 9-x^2>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z,\\ 9-x^2=1,\\ -3<x<3 \end{cases}$$

$$9-x^2=1 \;\Rightarrow\; x^2=8 \;\Rightarrow\; x=\pm 2\sqrt{2}.$$

Из условия $$\cos x=0$$ получаем $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$$. В промежутке $$-3<x<3$$ подходят только $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ и $$x=\dfrac{\pi}{2}$$.

Итак, решения: $$x=-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2},\ -2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}.$$

в) Уравнение равносильно совокупности систем:

$$\begin{cases} \tg x = 0,\\ \log_{13}(x^2-x-6)=0,\\ x^2-x-6>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\pi k,\ k\in \mathbb Z,\\ x^2-x-6=1,\\ x^2-x-6>0 \end{cases}$$

$$x^2-x-6=1 \;\Rightarrow\; x^2-x-7=0.$$

$$D=1+28=29,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{29}}{2}.$$

Так как $$\tg x=0$$, то $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z$$. Эти значения нужно проверить по условию $$x^2-x-6>0$$; при $$x=\pi k$$ оно выполняется не для всех $$k$$, поэтому оставляем только те значения, которые удовлетворяют области определения.

Итак, решения: $$x=\pi k,\ k\in \mathbb Z,\ k\ne 0;\ \dfrac{1-\sqrt{29}}{2};\ \dfrac{1+\sqrt{29}}{2}.$$

г) Уравнение равносильно совокупности систем:

$$\begin{cases} \ctg x = 0,\\ \log_{14}(x^2+x-12)=0,\\ x^2+x-12>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z,\\ x^2+x-12=1,\\ x^2+x-12>0 \end{cases}$$

$$x^2+x-12=1 \;\Rightarrow\; x^2+x-13=0.$$

$$D=1+52=53,\qquad x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{53}}{2}.$$

Из условия $$\ctg x=0$$ получаем $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$. Подставляя эти значения в область определения, оставляем только подходящие.

Итак, решения: $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\ \dfrac{-1-\sqrt{53}}{2};\ \dfrac{-1+\sqrt{53}}{2}.$$

Ответ

а) $$-\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}$$;
б) $$-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2},\ -2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}$$;
в) $$\pi k,\ k\in \mathbb Z,\ k\ne 0;\ \dfrac{1-\sqrt{29}}{2};\ \dfrac{1+\sqrt{29}}{2}$$;
г) $$\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\ \dfrac{-1-\sqrt{53}}{2};\ \dfrac{-1+\sqrt{53}}{2}$$.