Упр.9.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите справедливость утверждения 6.

Подробный ответ

Докажем, что уравнение $$\frac{f(x)}{g(x)}=0$$ и система

$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ne 0 \end{cases}$$

имеют одни и те же решения.

Пусть $$x_0$$ — корень уравнения $$\frac{f(x)}{g(x)}=0$$. Тогда дробь равна нулю, если и только если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит,

$$\begin{cases} f(x_0)=0,\\ g(x_0)\ne 0 \end{cases}$$

то есть $$x_0$$ является решением системы.

Обратно, пусть $$x_1$$ — решение системы. Тогда

$$\begin{cases} f(x_1)=0,\\ g(x_1)\ne 0 \end{cases}$$

Следовательно,

$$\frac{f(x_1)}{g(x_1)}=0,$$

то есть $$x_1$$ является корнем уравнения.

Итак, уравнение $$\frac{f(x)}{g(x)}=0$$ и система

$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ne 0 \end{cases}$$

равносильны. Поэтому если одно из них не имеет решений, то и другое не имеет решений.