Упр.9.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (x2-9) + lg (x2+3x) = 1 + корень (x2-9);
в) корень (-x2+4x-3,5) + 9x + 243 = 36* 3x + корень (-x2+4x-3,5);
г) lg(x2+21x) + tg пиx/2 = 2+ tg пиx/2.

Подробный ответ

а)
Перенесём всё в одну сторону:
$$\lg(x^2-x-6)+4^x+16-17\cdot 2^x-\lg(x^2-x-6)=0.$$
Получаем:
$$4^x+16-17\cdot 2^x=0.$$
Положим $$2^x=t,\quad t>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и имеем:
$$t^2-17t+16=0.$$
$$t_1=1,\quad t_2=16.$$
Тогда:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
но $$x=0$$ не подходит, так как $$x^2-x-6=-6<0.$$
$$2^x=16 \Rightarrow x=4.$$
б)
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{x^2-9}+\lg(x^2+3x)-1-\sqrt{x^2-9}=0.$$
Тогда:
$$\lg(x^2+3x)=1.$$
Отсюда:
$$x^2+3x=10.$$
Решим уравнение:
$$x^2+3x-10=0,$$
$$x_1=2,\quad x_2=-5.$$
Проверим область допустимых значений: $$x^2-9\ge 0.$$
Число $$x=2$$ не подходит, а $$x=-5$$ подходит.
в)
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}+9^x+243-36\cdot 3^x-\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}=0.$$
Получаем:
$$9^x+243-36\cdot 3^x=0.$$
Положим $$3^x=t,\quad t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,$$ и:
$$t^2-36t+243=0.$$
$$t_1=9,\quad t_2=27.$$
Значит,
$$3^x=9 \Rightarrow x=2,$$
$$3^x=27 \Rightarrow x=3.$$
Проверим условие $$-x^2+4x-3{,}5\ge 0.$$
При $$x=2$$:
$$-4+8-3{,}5=0{,}5>0.$$
При $$x=3$$:
$$-9+12-3{,}5=-0{,}5<0.$$
Подходит только $$x=2.$$
г)
Перенесём всё в одну сторону:
$$\lg(x^2+21x)+\tg\frac{\pi x}{2}-2-\tg\frac{\pi x}{2}=0.$$
Тогда:
$$\lg(x^2+21x)=2.$$
Отсюда:
$$x^2+21x=100.$$
Решим квадратное уравнение:
$$x^2+21x-100=0,$$
$$x_1=-25,\quad x_2=4.$$
Проверим область допустимых значений: $$x^2+21x>0.$$
Число $$x=-25$$ не подходит, а $$x=4$$ подходит.