Упр.9.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\lg(x^2-x-6)+4^x+16=17\cdot2^x+\lg(x^2-x-6)$$
2. б) $$\sqrt{x^2-9}+\lg(x^2+3x)=1+\sqrt{x^2-9}$$
3. в) $$\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}+9^x+243=36\cdot3^x+\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}$$
4. г) $$\lg(x^2+21x)+\tg\frac{\pi x}{2}=2+\tg\frac{\pi x}{2}$$

1. а)

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\lg(x^2-x-6)+4^x+16-17\cdot 2^x-\lg(x^2-x-6)=0.$$

   Получаем:

   $$4^x+16-17\cdot 2^x=0.$$

   Положим $$2^x=t,\quad t>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и имеем:

   $$t^2-17t+16=0.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=16.$$

   Тогда:

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   но $$x=0$$ не подходит, так как $$x^2-x-6=-6<0.$$

   $$2^x=16 \Rightarrow x=4.$$

2. б)

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sqrt{x^2-9}+\lg(x^2+3x)-1-\sqrt{x^2-9}=0.$$

   Тогда:

   $$\lg(x^2+3x)=1.$$

   Отсюда:

   $$x^2+3x=10.$$

   Решим уравнение:

   $$x^2+3x-10=0,$$

   $$x_1=2,\quad x_2=-5.$$

   Проверим область допустимых значений: $$x^2-9\ge 0.$$

   Число $$x=2$$ не подходит, а $$x=-5$$ подходит.

3. в)

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}+9^x+243-36\cdot 3^x-\sqrt{-x^2+4x-3{,}5}=0.$$

   Получаем:

   $$9^x+243-36\cdot 3^x=0.$$

   Положим $$3^x=t,\quad t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,$$ и:

   $$t^2-36t+243=0.$$

   $$t_1=9,\quad t_2=27.$$

   Значит,

   $$3^x=9 \Rightarrow x=2,$$

   $$3^x=27 \Rightarrow x=3.$$

   Проверим условие $$-x^2+4x-3{,}5\ge 0.$$

   При $$x=2$$:

   $$-4+8-3{,}5=0{,}5>0.$$

   При $$x=3$$:

   $$-9+12-3{,}5=-0{,}5<0.$$

   Подходит только $$x=2.$$

4. г)

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\lg(x^2+21x)+\tg\frac{\pi x}{2}-2-\tg\frac{\pi x}{2}=0.$$

   Тогда:

   $$\lg(x^2+21x)=2.$$

   Отсюда:

   $$x^2+21x=100.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$x^2+21x-100=0,$$

   $$x_1=-25,\quad x_2=4.$$

   Проверим область допустимых значений: $$x^2+21x>0.$$

   Число $$x=-25$$ не подходит, а $$x=4$$ подходит.

Ответ

а) $$x=4$$; б) $$x=-5$$; в) $$x=2$$; г) $$x=4$$.