Упр.9.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 11. а) $$\sqrt{\log_3(x)+1}=\sqrt{\log_3^2(x)-5}$$; б) $$\sqrt{2\log_4(x)}=\sqrt{\log_4^2(x)-8}$$; в) $$\sqrt{1-4\log_{\frac{1}{2}}(x)}=\sqrt{6-\log_{\frac{1}{2}}^2(x)}$$; г) $$\sqrt{2-\log_{\frac{1}{3}}(x)}=\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}^2(x)-4}$$.

1. а) Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда получаем систему

   $$\begin{cases} t+1=t^2-5,\\ t+1\ge 0. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$t^2-t-6=0,$$

   $$(t-3)(t+2)=0,$$

   $$t=3 \text{ или } t=-2.$$

   Условию $$t\ge -1$$ удовлетворяет только $$t=3$$. Тогда

   $$\log_3 x=3,\quad x=27.$$

2. б) Обозначим $$t=\log_4 x.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 2t=t^2-8,\\ 2t\ge 0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$t^2-2t-8=0,$$

   $$(t-4)(t+2)=0,$$

   $$t=4 \text{ или } t=-2.$$

   Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=4$$. Тогда

   $$\log_4 x=4,\quad x=256.$$

3. в) Обозначим $$t=\log_{\frac12} x.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 1-4t=6-t^2,\\ 1-4t\ge 0. \end{cases}$$

   Имеем:

   $$t^2-4t-5=0,$$

   $$(t-5)(t+1)=0,$$

   $$t=5 \text{ или } t=-1.$$

   Условию $$t\le \frac14$$ удовлетворяет только $$t=-1$$. Тогда

   $$\log_{\frac12} x=-1,\quad x=2.$$

4. г) Обозначим $$t=\log_{\frac13} x.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 2-t=t^2-4,\\ 2-t\ge 0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$t^2+t-2=0,$$

   $$(t+2)(t-1)=0,$$

   $$t=-2 \text{ или } t=1.$$

   Оба корня удовлетворяют условию $$t\le 2$$. Тогда

   $$\log_{\frac13} x=-2 \Rightarrow x=9,$$

   $$\log_{\frac13} x=1 \Rightarrow x=\frac13.$$

Ответ

а) $$x=27$$; б) $$x=256$$; в) $$x=2$$; г) $$x=9,\ \frac13$$.