Упр.9.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (x2+3x) = корень (x+1);
в) корень (x2-7) = корень (-2x-6);
г) корень (x2+x) = корень (1-x).
а) $$\sqrt{x^2-1}=-2x$$
Для существования корня и равенства правой части нулю или положительному числу получаем систему:
$$ \begin{cases} x^2-1=-2x,\\ -2x\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^2+2x-1=0 $$
$$ x_{1,2}=-1\pm \sqrt2 $$
Условию $$x\le 0$$ удовлетворяет только $$x=-1-\sqrt2$$.
б) $$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+1}$$
Равносильная система:
$$ \begin{cases} x^2+3x=x+1,\\ x+1\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^2+2x-1=0 $$
$$ x_{1,2}=-1\pm \sqrt2 $$
Условию $$x\ge -1$$ удовлетворяет только $$x=-1+\sqrt2$$.
в) $$\sqrt{x^2-7}=\sqrt{-2x-6}$$
Равносильная система:
$$ \begin{cases} x^2-7=-2x-6,\\ -2x-6\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^2+2x-1=0 $$
$$ x_{1,2}=-1\pm \sqrt2 $$
Но из условия $$x\le -3$$ ни один из корней не подходит, значит решений нет.
г) $$\sqrt{x^2+x}=\sqrt{1-x}$$
Равносильная система:
$$ \begin{cases} x^2+x=1-x,\\ 1-x\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^2+2x-1=0 $$
$$ x_{1,2}=-1\pm \sqrt2 $$
Оба корня удовлетворяют условию $$x\le 1$$, значит оба являются решениями.
Ответ
а) $$x=-1-\sqrt2$$; б) $$x=-1+\sqrt2$$; в) корней нет; г) $$x=-1+\sqrt2,\,-1-\sqrt2$$.
