Упр.89 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень 3 степени (х + 6) + корень 3 степени (7х + 10) = корень 3 степени (2х + 15) + корень 3 степени (6х + 1);
в) корень 3 степени (2х + 5) + корень 3 степени (5х + 16) = корень 3 степени (х + 8) + корень 3 степени (6х + 13);
г) корень 3 степени (4х + 6) + корень 3 степени (5х+ 12) = корень 3 степени (3х +10) + корень 3 степени (6х + 8).

Подробный ответ

а) Обозначим
$$a=\sqrt[3]{3x+20},\quad b=\sqrt[3]{5x+4},\quad c=\sqrt[3]{2x+19},\quad d=\sqrt[3]{6x+5}.$$
Тогда уравнение имеет вид $$a+b=c+d.$$ Возведём его в куб и перенесём всё в одну сторону:
$$ (a+b)^3=(c+d)^3 $$
$$ a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3+d^3+3cd(c+d) $$
$$ (3x+20)+(5x+4)+3ab(a+b)=(2x+19)+(6x+5)+3cd(c+d) $$
Так как $$a+b=c+d,$$ получаем
$$ 8x+24+3(a+b)(ab-cd)=8x+24 $$
Следовательно,
$$ (a+b)(ab-cd)=0. $$
Рассмотрим случаи:
1) $$a+b=0,$$ тогда
$$ \sqrt[3]{3x+20}+\sqrt[3]{5x+4}=0 $$
$$ 3x+20=-(5x+4) $$
$$ 8x=-24,\quad x=-3. $$
2) $$ab=cd,$$ тогда
$$ \sqrt[3]{(3x+20)(5x+4)}=\sqrt[3]{(2x+19)(6x+5)} $$
$$ (3x+20)(5x+4)=(2x+19)(6x+5) $$
$$ 15x^2+112x+80=12x^2+124x+95 $$
$$ 3x^2-12x-15=0 $$
$$ x^2-4x-5=0 $$
$$ (x+1)(x-5)=0 $$
$$ x=-1 \text{ или } x=5. $$
б) Аналогично, положим
$$a=\sqrt[3]{x+6},\quad b=\sqrt[3]{7x+10},\quad c=\sqrt[3]{2x+15},\quad d=\sqrt[3]{6x+1}.$$
Из уравнения $$a+b=c+d$$ получаем
$$ (a+b)(ab-cd)=0. $$
1) $$a+b=0,$$ тогда
$$ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{7x+10}=0 $$
$$ x+6=-(7x+10) $$
$$ 8x=-16,\quad x=-2. $$
2) $$ab=cd,$$ тогда
$$ (x+6)(7x+10)=(2x+15)(6x+1) $$
$$ 7x^2+52x+60=12x^2+92x+15 $$
$$ 5x^2+40x+45=0 $$
$$ x^2+8x+9=0 $$
$$ x=-4\pm\sqrt7. $$
в) Пусть
$$a=\sqrt[3]{2x+5},\quad b=\sqrt[3]{5x+16},\quad c=\sqrt[3]{x+8},\quad d=\sqrt[3]{6x+13}.$$
Тогда
$$ (a+b)(ab-cd)=0. $$
1) $$a+b=0,$$ значит
$$ \sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{5x+16}=0 $$
$$ 2x+5=-(5x+16) $$
$$ 7x=-21,\quad x=-3. $$
2) $$ab=cd,$$ тогда
$$ (2x+5)(5x+16)=(x+8)(6x+13) $$
$$ 10x^2+57x+80=6x^2+61x+104 $$
$$ 2x^2-2x-12=0 $$
$$ x^2-x-6=0 $$
$$ (x-3)(x+2)=0 $$
$$ x=-2 \text{ или } x=3. $$
г) Пусть
$$a=\sqrt[3]{4x+6},\quad b=\sqrt[3]{5x+12},\quad c=\sqrt[3]{3x+10},\quad d=\sqrt[3]{6x+8}.$$
Тогда
$$ (a+b)(ab-cd)=0. $$
1) $$a+b=0,$$ значит
$$ \sqrt[3]{4x+6}+\sqrt[3]{5x+12}=0 $$
$$ 4x+6=-(5x+12) $$
$$ 9x=-18,\quad x=-2. $$
2) $$ab=cd,$$ тогда
$$ (4x+6)(5x+12)=(3x+10)(6x+8) $$
$$ 20x^2+78x+72=18x^2+84x+80 $$
$$ 2x^2-6x-8=0 $$
$$ x^2-3x-4=0 $$
$$ (x-4)(x+1)=0 $$
$$ x=-1 \text{ или } x=4. $$