Упр.89 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt[3]{3x+20}+\sqrt[3]{5x+4}=\sqrt[3]{2x+19}+\sqrt[3]{6x+5}$$;
   б) $$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{7x+10}=\sqrt[3]{2x+15}+\sqrt[3]{6x+1}$$;
   в) $$\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{5x+16}=\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{6x+13}$$;
   г) $$\sqrt[3]{4x+6}+\sqrt[3]{5x+12}=\sqrt[3]{3x+10}+\sqrt[3]{6x+8}$$.

1. а) Обозначим

   $$a=\sqrt[3]{3x+20},\quad b=\sqrt[3]{5x+4},\quad c=\sqrt[3]{2x+19},\quad d=\sqrt[3]{6x+5}.$$

   Тогда уравнение имеет вид $$a+b=c+d.$$ Возведём его в куб и перенесём всё в одну сторону:

   $$(a+b)^3=(c+d)^3$$

   $$a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3+d^3+3cd(c+d)$$

   $$(3x+20)+(5x+4)+3ab(a+b)=(2x+19)+(6x+5)+3cd(c+d)$$

   Так как $$a+b=c+d,$$ получаем

   $$8x+24+3(a+b)(ab-cd)=8x+24$$

   Следовательно,

   $$(a+b)(ab-cd)=0.$$

   Рассмотрим случаи:

   1) $$a+b=0,$$ тогда

   $$\sqrt[3]{3x+20}+\sqrt[3]{5x+4}=0$$

   $$3x+20=-(5x+4)$$

   $$8x=-24,\quad x=-3.$$

   2) $$ab=cd,$$ тогда

   $$\sqrt[3]{(3x+20)(5x+4)}=\sqrt[3]{(2x+19)(6x+5)}$$

   $$(3x+20)(5x+4)=(2x+19)(6x+5)$$

   $$15x^2+112x+80=12x^2+124x+95$$

   $$3x^2-12x-15=0$$

   $$x^2-4x-5=0$$

   $$(x+1)(x-5)=0$$

   $$x=-1 \text{ или } x=5.$$

2. б) Аналогично, положим

   $$a=\sqrt[3]{x+6},\quad b=\sqrt[3]{7x+10},\quad c=\sqrt[3]{2x+15},\quad d=\sqrt[3]{6x+1}.$$

   Из уравнения $$a+b=c+d$$ получаем

   $$(a+b)(ab-cd)=0.$$

   1) $$a+b=0,$$ тогда

   $$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{7x+10}=0$$

   $$x+6=-(7x+10)$$

   $$8x=-16,\quad x=-2.$$

   2) $$ab=cd,$$ тогда

   $$(x+6)(7x+10)=(2x+15)(6x+1)$$

   $$7x^2+52x+60=12x^2+92x+15$$

   $$5x^2+40x+45=0$$

   $$x^2+8x+9=0$$

   $$x=-4\pm\sqrt7.$$

3. в) Пусть

   $$a=\sqrt[3]{2x+5},\quad b=\sqrt[3]{5x+16},\quad c=\sqrt[3]{x+8},\quad d=\sqrt[3]{6x+13}.$$

   Тогда

   $$(a+b)(ab-cd)=0.$$

   1) $$a+b=0,$$ значит

   $$\sqrt[3]{2x+5}+\sqrt[3]{5x+16}=0$$

   $$2x+5=-(5x+16)$$

   $$7x=-21,\quad x=-3.$$

   2) $$ab=cd,$$ тогда

   $$(2x+5)(5x+16)=(x+8)(6x+13)$$

   $$10x^2+57x+80=6x^2+61x+104$$

   $$2x^2-2x-12=0$$

   $$x^2-x-6=0$$

   $$(x-3)(x+2)=0$$

   $$x=-2 \text{ или } x=3.$$

4. г) Пусть

   $$a=\sqrt[3]{4x+6},\quad b=\sqrt[3]{5x+12},\quad c=\sqrt[3]{3x+10},\quad d=\sqrt[3]{6x+8}.$$

   Тогда

   $$(a+b)(ab-cd)=0.$$

   1) $$a+b=0,$$ значит

   $$\sqrt[3]{4x+6}+\sqrt[3]{5x+12}=0$$

   $$4x+6=-(5x+12)$$

   $$9x=-18,\quad x=-2.$$

   2) $$ab=cd,$$ тогда

   $$(4x+6)(5x+12)=(3x+10)(6x+8)$$

   $$20x^2+78x+72=18x^2+84x+80$$

   $$2x^2-6x-8=0$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$(x-4)(x+1)=0$$

   $$x=-1 \text{ или } x=4.$$

Ответ

а) $$-3,\,-1,\,5$$; б) $$-2,\,-4\pm\sqrt7$$; в) $$-3,\,-2,\,3$$; г) $$-2,\,-1,\,4$$.