Упр.88 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень 3 степени (200 + 2x) +корень (300-х) = 20;
в) корень 3 степени (6 + х) + корень (35- х) = 6;
г) корень 3 степени (192 + 4x) + корень (-32-х) = 4.

Подробный ответ

$$\sqrt[3]{297-3x}+\sqrt{x-18}=9$$
Пусть $$\sqrt[3]{297-3x}=a,$$ $$\sqrt{x-18}=b,$$ тогда $$a+b=9.$$
Возведём в куб и в квадрат:
$$297-3x=a^3,$$ $$x-18=b^2.$$
Умножим второе уравнение на $$3$$ и сложим с первым:
$$297-3x=a^3$$
$$-54+3x=3b^2$$
$$243=a^3+3b^2.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=9, \\ a^3+3b^2=243. \end{cases}$$
Подставим $$b=9-a$$:
$$a^3+3(9-a)^2=243$$
$$a^3+3a^2-54a=0$$
$$a(a^2+3a-54)=0$$
$$a=0,\,-9,\,6.$$
Тогда:
$$a=0 \Rightarrow x=99,$$
$$a=-9 \Rightarrow x=342,$$
$$a=6 \Rightarrow x=27.$$
Проверка показывает, что все три значения подходят.
$$\sqrt[3]{200+2x}+\sqrt{300-x}=20$$
Пусть $$\sqrt[3]{200+2x}=a,$$ $$\sqrt{300-x}=b,$$ тогда $$a+b=20.$$
Возведём в куб и в квадрат:
$$200+2x=a^3,$$ $$300-x=b^2.$$
Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым:
$$200+2x=a^3$$
$$600-2x=2b^2$$
$$800=a^3+2b^2.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=20, \\ a^3+2b^2=800. \end{cases}$$
Подставим $$b=20-a$$:
$$a^3+2(20-a)^2=800$$
$$a^3+2a^2-80a=0$$
$$a(a^2+2a-80)=0$$
$$a=0,\,-10,\,8.$$
Тогда:
$$a=0 \Rightarrow x=-100,$$
$$a=-10 \Rightarrow x=-600,$$
$$a=8 \Rightarrow x=156.$$
$$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{30-x}=6$$
Пусть $$\sqrt[3]{x+6}=a,$$ $$\sqrt{30-x}=b,$$ тогда $$a+b=6.$$
Возведём в куб и в квадрат:
$$x+6=a^3,$$ $$30-x=b^2.$$
Сложим уравнения:
$$36=a^3+b^2.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=6, \\ a^3+b^2=36. \end{cases}$$
Подставим $$b=6-a$$:
$$a^3+(6-a)^2=36$$
$$a^3+a^2-12a=0$$
$$a(a^2+a-12)=0$$
$$a=0,\,-4,\,3.$$
Тогда:
$$a=0 \Rightarrow x=-6,$$
$$a=-4 \Rightarrow x=-70,$$
$$a=3 \Rightarrow x=21.$$
$$\sqrt[3]{192+4x}+\sqrt{-32-x}=4$$
Пусть $$\sqrt[3]{192+4x}=a,$$ $$\sqrt{-32-x}=b,$$ тогда $$a+b=4.$$
Возведём в куб и в квадрат:
$$192+4x=a^3,$$ $$-32-x=b^2.$$
Умножим второе уравнение на $$4$$ и сложим с первым:
$$192+4x=a^3$$
$$-128-4x=4b^2$$
$$64=a^3+4b^2.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=4, \\ a^3+4b^2=64. \end{cases}$$
Подставим $$b=4-a$$:
$$a^3+4(4-a)^2=64$$
$$a^3+4a^2-32a=0$$
$$a(a^2+4a-32)=0$$
$$a=0,\,-8,\,4.$$
Тогда:
$$a=0 \Rightarrow x=-48,$$
$$a=-8 \Rightarrow x=-176,$$
$$a=4 \Rightarrow x=-32.$$