Упр.85 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 85 (МГУ, геогр. ф-т). а) корень (2х2 — 8х + 5) = х — 2; б) корень (2х2 — 8х + 6) = х — 2.

а)

$$\sqrt{2x^2-8x+5}=x-2$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая ОДЗ: $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$

$$ 2x^2-8x+5=(x-2)^2 $$
$$ 2x^2-8x+5=x^2-4x+4 $$
$$ x^2-4x+1=0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12 $$
$$ x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3 $$

С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только корень $$x=2+\sqrt3.$$

б)

$$\sqrt{2x^2-8x+6}=x-2 $$

Снова учитываем ОДЗ: $$x\ge 2.$$ Возведём обе части в квадрат:

$$ 2x^2-8x+6=(x-2)^2 $$
$$ 2x^2-8x+6=x^2-4x+4 $$
$$ x^2-4x+2=0 $$

Найдём корни:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=8 $$
$$ x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt8}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt2}{2}=2\pm\sqrt2 $$

С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только корень $$x=2+\sqrt2.$$

Ответ

а) $$x=2+\sqrt3$$; б) $$x=2+\sqrt2$$.