Упр.85 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{2x^2-8x+5}=x-2$$;

б) $$\sqrt{2x^2-8x+6}=x-2$$.

а)

$$\sqrt{2x^2-8x+5}=x-2$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая ОДЗ: $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$

$$2x^2-8x+5=(x-2)^2$$
$$2x^2-8x+5=x^2-4x+4$$
$$x^2-4x+1=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$$

С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только корень $$x=2+\sqrt3.$$

б)

$$\sqrt{2x^2-8x+6}=x-2$$

Снова учитываем ОДЗ: $$x\ge 2.$$ Возведём обе части в квадрат:

$$2x^2-8x+6=(x-2)^2$$
$$2x^2-8x+6=x^2-4x+4$$
$$x^2-4x+2=0$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=8$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt8}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt2}{2}=2\pm\sqrt2$$

С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только корень $$x=2+\sqrt2.$$

Ответ

а) $$x=2+\sqrt3$$; б) $$x=2+\sqrt2$$.