Упр.82 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (4х2 + 4х + 1) = х2 + х — 1;
в) корень (х2 + х + 4) + корень (х2 + x + 1) = корень (2х2 + 2х + 9);
г) корень 4 степени (629 — х) + корень 4 степени (77 + х) = 8.

Подробный ответ

$$\sqrt{3x-5}=3-2x$$
ОДЗ: $$3x-5\ge 0,\quad 3-2x\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-5=(3-2x)^2$$
$$3x-5=9-12x+4x^2$$
$$4x^2-15x+14=0$$
$$D=15^2-4\cdot 4\cdot 14=225-224=1$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 1}{8}$$
$$x_1=2,\quad x_2=\frac74$$
Проверим ОДЗ: из $$3-2x\ge 0$$ получаем $$x\le \frac32.$$
Оба корня этому не удовлетворяют, значит решений нет.
$$\sqrt{4x^2+4x+1}=x^2+x-1$$
Так как $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2,$$ то
$$|2x+1|=x^2+x-1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$2x+1\ge 0,$$ тогда
$$2x+1=x^2+x-1$$
$$x^2-x-2=0$$
$$x=-1,\;2.$$
С учётом $$x\ge -\frac12$$ подходит только $$x=2.$$
2) $$2x+1<0,$$ тогда
$$-(2x+1)=x^2+x-1$$
$$x^2+3x=0$$
$$x=-3,\;0.$$
С учётом $$x<-\frac12$$ подходит только $$x=-3.$$
$$\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}$$
Обозначим $$t=x^2+x+1.$$ Тогда $$t\ge \frac34,$$ и уравнение принимает вид
$$\sqrt{t+3}+\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}.$$
Возведём в квадрат:
$$t+3+t+2\sqrt{t(t+3)}=2t+7$$
$$2\sqrt{t(t+3)}=4$$
$$\sqrt{t(t+3)}=2$$
$$t(t+3)=4$$
$$t^2+3t-4=0$$
$$t=1 \text{ или } t=-4.$$
Так как $$t\ge \frac34,$$ подходит только $$t=1.$$ Тогда
$$x^2+x+1=1$$
$$x^2+x=0$$
$$x(x+1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-1.$$
$$\sqrt[4]{629-x}+\sqrt[4]{77+x}=8$$
Положим
$$a=\sqrt[4]{629-x},\quad b=\sqrt[4]{77+x}.$$
Тогда $$a+b=8,$$ а также
$$a^4+b^4=(629-x)+(77+x)=706.$$
Используем тождество:
$$a^4+b^4=(a+b)^4-4ab(a+b)^2+2a^2b^2.$$
Подставим $$a+b=8$$ и обозначим $$u=ab\ge 0$$:
$$706=8^4-4u\cdot 8^2+2u^2$$
$$706=4096-256u+2u^2$$
$$u^2-128u+1695=0.$$
$$D=128^2-4\cdot 1695=16384-6780=9604=98^2$$
$$u=\frac{128\pm 98}{2}$$
$$u=15 \text{ или } u=113.$$
Но при $$a+b=8$$ и $$a,b\ge 0$$ имеем $$ab\le 16,$$ значит $$u=15.$$
Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-8t+15=0,$$
откуда $$t=3$$ или $$t=5.$$ Следовательно, $$\{a,b\}=\{3,5\}.$$
Если $$a=3,$$ то $$629-x=3^4=81,$$ значит $$x=548.$$
Если $$a=5,$$ то $$629-x=5^4=625,$$ значит $$x=4.$$