Упр.8.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sqrt{5x+2}=x\sqrt{3}$$; б) $$\sqrt{3x+2}=x\sqrt{2}$$; в) $$\sqrt{2x+5}=+1$$; г) $$\sqrt{3x+7}=2x+3$$; д) $$\sqrt{2x^2-4x+1}=x+1$$; е) $$\sqrt{3x^2-4x+1}=x-1$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{5x+2}=x\sqrt{3}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5x+2=3x^2$$
$$3x^2-5x-2=0$$
$$D=25+24=49,\quad \sqrt{D}=7$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac13$$
Проверка:
$$x=2:\ \sqrt{5\cdot 2+2}=2\sqrt3$$
$$x=-\frac13:\ \sqrt{5\cdot\left(-\frac13\right)+2}\ne -\frac13\sqrt3$$
Значит, подходит только $$x=2$$.
б) $$\sqrt{3x+2}=x\sqrt{2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+2=2x^2$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=9+16=25,\quad \sqrt{D}=5$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac12$$
Проверка:
$$x=2:\ \sqrt{3\cdot 2+2}=2\sqrt2$$
$$x=-\frac12:\ \sqrt{3\cdot\left(-\frac12\right)+2}\ne -\frac12\sqrt2$$
Подходит только $$x=2$$.
в) $$\sqrt{2x+5}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+5=(x+1)^2$$
$$2x+5=x^2+2x+1$$
$$x^2-4=0$$
$$x=\pm 2$$
Проверка:
$$x=2:\ \sqrt{2\cdot 2+5}=3,\quad 2+1=3$$
$$x=-2:\ \sqrt{2\cdot(-2)+5}=1,\quad -2+1=-1$$
Подходит только $$x=2$$.
г) $$\sqrt{3x+7}=2x+3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+7=(2x+3)^2$$
$$3x+7=4x^2+12x+9$$
$$4x^2+9x+2=0$$
$$D=81-32=49,\quad \sqrt{D}=7$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{8}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=-\frac14$$
Проверка:
$$x=-2:\ \sqrt{3\cdot(-2)+7}=1,\quad 2\cdot(-2)+3=-1$$
$$x=-\frac14:\ \sqrt{3\cdot\left(-\frac14\right)+7}=\frac52,\quad 2\cdot\left(-\frac14\right)+3=\frac52$$
Подходит только $$x=-\frac14$$.
д) $$\sqrt{2x^2-4x+1}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2-4x+1=(x+1)^2$$
$$2x^2-4x+1=x^2+2x+1$$
$$x^2-6x=0$$
$$x(x-6)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=6$$
Проверка:
$$x=0:\ \sqrt{1}=1,\quad 0+1=1$$
$$x=6:\ \sqrt{72-24+1}=7,\quad 6+1=7$$
Оба корня подходят.
е) $$\sqrt{3x^2-4x+1}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x^2-4x+1=(x-1)^2$$
$$3x^2-4x+1=x^2-2x+1$$
$$2x^2-2x=0$$
$$2x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Проверка:
$$x=0:\ \sqrt{1}=1,\quad 0-1=-1$$
$$x=1:\ \sqrt{3-4+1}=0,\quad 1-1=0$$
Подходит только $$x=1$$.