Упр.8.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 8.8. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{x^2-4x+1}=\sqrt{3x+1}$$;
   б) $$\sqrt{2x^2-4x+5}=\sqrt{3x^2-x+1}$$;
   в) $$\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{4x-10}$$;
   г) $$\sqrt{x^2-3x-3}=\sqrt{2x^2-2x-9}$$.

1. а) $$\sqrt{x^2-4x+1}=\sqrt{3x+1}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-4x+1=3x+1$$

   $$x^2-7x=0$$

   $$x(x-7)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=7$$

   Проверка:

   при $$x=0$$: $$\sqrt{0-0+1}=\sqrt{3\cdot 0+1}$$, верно;

   при $$x=7$$: $$\sqrt{49-28+1}=\sqrt{21+1}$$, верно.

2. б) $$\sqrt{2x^2-4x+5}=\sqrt{3x^2-x+1}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x^2-4x+5=3x^2-x+1$$

   $$x^2+3x-4=0$$

   $$\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0$$

   $$x=-4 \text{ или } x=1$$

   Проверка показывает, что оба корня подходят.

3. в) $$\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{4x-10}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-3x=4x-10$$

   $$x^2-7x+10=0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0$$

   $$x=2 \text{ или } x=5$$

   Проверка:

   при $$x=2$$: $$4x-10=-2<0$$, значит корень не существует;

   при $$x=5$$: $$\sqrt{25-15}=\sqrt{20-10}$$, верно.

4. г) $$\sqrt{x^2-3x-3}=\sqrt{2x^2-2x-9}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-3x-3=2x^2-2x-9$$

   $$x^2+x-6=0$$

   $$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0$$

   $$x=-3 \text{ или } x=2$$

   Проверка:

   при $$x=-3$$: $$\sqrt{9+9-3}=\sqrt{18}$$ и $$\sqrt{18+6-9}=\sqrt{15}$$ — не подходит;

   при $$x=2$$: $$x^2-3x-3=-5<0$$, значит корень не существует.

Ответ

а) $$0,\,7$$; б) $$-4,\,1$$; в) $$5$$; г) решений нет.